Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14283 / 2197
↖ ↑ ↗
← N 78.538679°
E133.835449°		 ← 485.50 m → N 78.538679°
E133.857422°		 →
↑
485.60 m
↓
↑
485.60 m
↓
N 78.534311°
E133.835449°		 ← 485.68 m →
235 800 m²		 N 78.534311°
E133.857422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14283 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2197 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.871795654296875 y=0.134124755859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.871795654296875 × 214)
    floor (0.871795654296875 × 16384)
    floor (14283.5)     		tx = 14283
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.134124755859375 × 214)
    floor (0.134124755859375 × 16384)
    floor (2197.5)     		ty = 2197
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14283 / 2197 ti = "14/14283/2197"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14283/2197.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14283 ÷ 214
    14283 ÷ 16384     		x = 0.87176513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2197 ÷ 214
    2197 ÷ 16384     		y = 0.13409423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87176513671875 × 2 - 1) × π
    0.7435302734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.33586924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13409423828125 × 2 - 1) × π
    0.7318115234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.29905370577789
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33586924} λ = 2.33586924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29905370577789))-π/2
    2×atan(9.96474840798349)-π/2
    2×1.4707774261987-π/2
    2.94155485239741-1.57079632675     		φ = 1.37075853
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33586924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.835449°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37075853 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.538679°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14283 KachelY 2197 2.33586924 1.37075853 133.835449 78.538679
    Oben rechts KachelX + 1 14284 KachelY 2197 2.33625274 1.37075853 133.857422 78.538679
    Unten links KachelX 14283 KachelY + 1 2198 2.33586924 1.37068231 133.835449 78.534311
    Unten rechts KachelX + 1 14284 KachelY + 1 2198 2.33625274 1.37068231 133.857422 78.534311
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37075853-1.37068231) × R
    7.62199999999602e-05 × 6371000     		dl = 485.597619999746m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37075853-1.37068231) × R
    7.62199999999602e-05 × 6371000     		dr = 485.597619999746m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33586924-2.33625274) × cos(1.37075853) × R
    0.00038349999999987 × 0.198706374028571 × 6371000     		do = 485.495011476801m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33586924-2.33625274) × cos(1.37068231) × R
    0.00038349999999987 × 0.198781073553476 × 6371000     		du = 485.677523219962m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37075853)-sin(1.37068231))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.198706374028571-0.198781073553476)×R²
    abs(2.33625274-2.33586924)×7.46995249052973e-05×R²
    0.00038349999999987×7.46995249052973e-05×6371000²
    0.00038349999999987×7.46995249052973e-05×40589641000000     		ar = 235799.535842227m²