Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14282 / 18478
↖ ↑ ↗
← N 78.035827°
W140.773315°		 ← 63.30 m → N 78.035827°
W140.770569°		 →
↑
63.33 m
↓
↑
63.33 m
↓
N 78.035257°
W140.773315°		 ← 63.30 m →
4 009 m²		 N 78.035257°
W140.770569°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14282 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18478 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108966827392578 y=0.140979766845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108966827392578 × 217)
    floor (0.108966827392578 × 131072)
    floor (14282.5)     		tx = 14282
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140979766845703 × 217)
    floor (0.140979766845703 × 131072)
    floor (18478.5)     		ty = 18478
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14282 / 18478 ti = "17/14282/18478"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14282/18478.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14282 ÷ 217
    14282 ÷ 131072     		x = 0.108963012695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18478 ÷ 217
    18478 ÷ 131072     		y = 0.140975952148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108963012695312 × 2 - 1) × π
    -0.782073974609375 × 3.1415926535     		Λ = -2.45695785
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140975952148438 × 2 - 1) × π
    0.718048095703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.2558146223206
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45695785} λ = -2.45695785}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2558146223206))-π/2
    2×atan(9.54306413762572)-π/2
    2×1.46638921735694-π/2
    2.93277843471389-1.57079632675     		φ = 1.36198211
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45695785} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.773315°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36198211 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.035827°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14282 KachelY 18478 -2.45695785 1.36198211 -140.773315 78.035827
    Oben rechts KachelX + 1 14283 KachelY 18478 -2.45690992 1.36198211 -140.770569 78.035827
    Unten links KachelX 14282 KachelY + 1 18479 -2.45695785 1.36197217 -140.773315 78.035257
    Unten rechts KachelX + 1 14283 KachelY + 1 18479 -2.45690992 1.36197217 -140.770569 78.035257
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36198211-1.36197217) × R
    9.93999999998607e-06 × 6371000     		dl = 63.3277399999113m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36198211-1.36197217) × R
    9.93999999998607e-06 × 6371000     		dr = 63.3277399999113m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45695785--2.45690992) × cos(1.36198211) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.207300020929308 × 6371000     		do = 63.3015552100548m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45695785--2.45690992) × cos(1.36197217) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.207309744996575 × 6371000     		du = 63.3045245709753m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36198211)-sin(1.36197217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207300020929308-0.207309744996575)×R²
    abs(-2.45690992--2.45695785)×9.72406726712505e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.72406726712505e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.72406726712505e-06×40589641000000     		ar = 4008.83845138751m²