Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14282 / 10950
↖ ↑ ↗
← N 51.138002°
W 23.093262°		 ← 766.51 m → N 51.138002°
W 23.082275°		 →
↑
766.56 m
↓
↑
766.56 m
↓
N 51.131108°
W 23.093262°		 ← 766.63 m →
587 622 m²		 N 51.131108°
W 23.082275°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14282 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10950 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435867309570312 y=0.334182739257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435867309570312 × 215)
    floor (0.435867309570312 × 32768)
    floor (14282.5)     		tx = 14282
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334182739257812 × 215)
    floor (0.334182739257812 × 32768)
    floor (10950.5)     		ty = 10950
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14282 / 10950 ti = "15/14282/10950"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14282/10950.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14282 ÷ 215
    14282 ÷ 32768     		x = 0.43585205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10950 ÷ 215
    10950 ÷ 32768     		y = 0.33416748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43585205078125 × 2 - 1) × π
    -0.1282958984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.40305345
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33416748046875 × 2 - 1) × π
    0.3316650390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.04195645014154
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40305345} λ = -0.40305345}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04195645014154))-π/2
    2×atan(2.83475765460562)-π/2
    2×1.23166141281633-π/2
    2.46332282563266-1.57079632675     		φ = 0.89252650
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40305345} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.093262°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89252650 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.138002°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14282 KachelY 10950 -0.40305345 0.89252650 -23.093262 51.138002
    Oben rechts KachelX + 1 14283 KachelY 10950 -0.40286170 0.89252650 -23.082275 51.138002
    Unten links KachelX 14282 KachelY + 1 10951 -0.40305345 0.89240618 -23.093262 51.131108
    Unten rechts KachelX + 1 14283 KachelY + 1 10951 -0.40286170 0.89240618 -23.082275 51.131108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89252650-0.89240618) × R
    0.000120319999999952 × 6371000     		dl = 766.558719999691m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89252650-0.89240618) × R
    0.000120319999999952 × 6371000     		dr = 766.558719999691m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40305345--0.40286170) × cos(0.89252650) × R
    0.000191749999999991 × 0.627446748061166 × 6371000     		do = 766.513574716344m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40305345--0.40286170) × cos(0.89240618) × R
    0.000191749999999991 × 0.627540431827256 × 6371000     		du = 766.628022482087m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89252650)-sin(0.89240618))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.627446748061166-0.627540431827256)×R²
    abs(-0.40286170--0.40305345)×9.36837660895362e-05×R²
    0.000191749999999991×9.36837660895362e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.36837660895362e-05×40589641000000     		ar = 587621.530872449m²