Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14281 / 7441
↖ ↑ ↗
← N 69.592059°
W 23.104248°		 ← 425.99 m → N 69.592059°
W 23.093262°		 →
↑
426.03 m
↓
↑
426.03 m
↓
N 69.588228°
W 23.104248°		 ← 426.06 m →
181 499 m²		 N 69.588228°
W 23.093262°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14281 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7441 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435836791992188 y=0.227096557617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435836791992188 × 215)
    floor (0.435836791992188 × 32768)
    floor (14281.5)     		tx = 14281
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227096557617188 × 215)
    floor (0.227096557617188 × 32768)
    floor (7441.5)     		ty = 7441
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14281 / 7441 ti = "15/14281/7441"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14281/7441.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14281 ÷ 215
    14281 ÷ 32768     		x = 0.435821533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7441 ÷ 215
    7441 ÷ 32768     		y = 0.227081298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435821533203125 × 2 - 1) × π
    -0.12835693359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.40324520
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.227081298828125 × 2 - 1) × π
    0.54583740234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.71479877320865
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40324520} λ = -0.40324520}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71479877320865))-π/2
    2×atan(5.55555747287101)-π/2
    2×1.39270344873514-π/2
    2.78540689747029-1.57079632675     		φ = 1.21461057
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40324520} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.104248°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21461057 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.592059°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14281 KachelY 7441 -0.40324520 1.21461057 -23.104248 69.592059
    Oben rechts KachelX + 1 14282 KachelY 7441 -0.40305345 1.21461057 -23.093262 69.592059
    Unten links KachelX 14281 KachelY + 1 7442 -0.40324520 1.21454370 -23.104248 69.588228
    Unten rechts KachelX + 1 14282 KachelY + 1 7442 -0.40305345 1.21454370 -23.093262 69.588228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21461057-1.21454370) × R
    6.68700000001632e-05 × 6371000     		dl = 426.02877000104m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21461057-1.21454370) × R
    6.68700000001632e-05 × 6371000     		dr = 426.02877000104m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40324520--0.40305345) × cos(1.21461057) × R
    0.000191750000000046 × 0.348701941311242 × 6371000     		do = 425.987978057111m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40324520--0.40305345) × cos(1.21454370) × R
    0.000191750000000046 × 0.348764613347221 × 6371000     		du = 426.064540676142m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21461057)-sin(1.21454370))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348701941311242-0.348764613347221)×R²
    abs(-0.40305345--0.40324520)×6.26720359798161e-05×R²
    0.000191750000000046×6.26720359798161e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.26720359798161e-05×40589641000000     		ar = 181499.443333582m²