Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14281 / 4423
↖ ↑ ↗
← N 78.475197°
W 23.104248°		 ← 244.07 m → N 78.475197°
W 23.093262°		 →
↑
244.14 m
↓
↑
244.14 m
↓
N 78.473001°
W 23.104248°		 ← 244.12 m →
59 593 m²		 N 78.473001°
W 23.093262°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14281 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4423 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435836791992188 y=0.134994506835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435836791992188 × 215)
    floor (0.435836791992188 × 32768)
    floor (14281.5)     		tx = 14281
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.134994506835938 × 215)
    floor (0.134994506835938 × 32768)
    floor (4423.5)     		ty = 4423
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14281 / 4423 ti = "15/14281/4423"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14281/4423.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14281 ÷ 215
    14281 ÷ 32768     		x = 0.435821533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4423 ÷ 215
    4423 ÷ 32768     		y = 0.134979248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435821533203125 × 2 - 1) × π
    -0.12835693359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.40324520
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.134979248046875 × 2 - 1) × π
    0.73004150390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.29349302542197
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40324520} λ = -0.40324520}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29349302542197))-π/2
    2×atan(9.90949140291495)-π/2
    2×1.4702234468183-π/2
    2.9404468936366-1.57079632675     		φ = 1.36965057
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40324520} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.104248°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36965057 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.475197°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14281 KachelY 4423 -0.40324520 1.36965057 -23.104248 78.475197
    Oben rechts KachelX + 1 14282 KachelY 4423 -0.40305345 1.36965057 -23.093262 78.475197
    Unten links KachelX 14281 KachelY + 1 4424 -0.40324520 1.36961225 -23.104248 78.473001
    Unten rechts KachelX + 1 14282 KachelY + 1 4424 -0.40305345 1.36961225 -23.093262 78.473001
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36965057-1.36961225) × R
    3.83199999998141e-05 × 6371000     		dl = 244.136719998815m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36965057-1.36961225) × R
    3.83199999998141e-05 × 6371000     		dr = 244.136719998815m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40324520--0.40305345) × cos(1.36965057) × R
    0.000191750000000046 × 0.199792118087962 × 6371000     		do = 244.073893296948m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40324520--0.40305345) × cos(1.36961225) × R
    0.000191750000000046 × 0.19982966534522 × 6371000     		du = 244.119762500144m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36965057)-sin(1.36961225))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.199792118087962-0.19982966534522)×R²
    abs(-0.40305345--0.40324520)×3.75472572582136e-05×R²
    0.000191750000000046×3.75472572582136e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.75472572582136e-05×40589641000000     		ar = 59592.9989322767m²