Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14281 / 2267
↖ ↑ ↗
← N 78.228997°
E133.791504°		 ← 498.43 m → N 78.228997°
E133.813477°		 →
↑
498.53 m
↓
↑
498.53 m
↓
N 78.224513°
E133.791504°		 ← 498.62 m →
248 530 m²		 N 78.224513°
E133.813477°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14281 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2267 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.871673583984375 y=0.138397216796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.871673583984375 × 214)
    floor (0.871673583984375 × 16384)
    floor (14281.5)     		tx = 14281
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138397216796875 × 214)
    floor (0.138397216796875 × 16384)
    floor (2267.5)     		ty = 2267
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14281 / 2267 ti = "14/14281/2267"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14281/2267.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14281 ÷ 214
    14281 ÷ 16384     		x = 0.87164306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2267 ÷ 214
    2267 ÷ 16384     		y = 0.13836669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87164306640625 × 2 - 1) × π
    0.7432861328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.33510225
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13836669921875 × 2 - 1) × π
    0.7232666015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.27220904199066
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33510225} λ = 2.33510225}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27220904199066))-π/2
    2×atan(9.70080665140753)-π/2
    2×1.46807494170915-π/2
    2.93614988341829-1.57079632675     		φ = 1.36535356
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33510225} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.791504°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36535356 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.228997°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14281 KachelY 2267 2.33510225 1.36535356 133.791504 78.228997
    Oben rechts KachelX + 1 14282 KachelY 2267 2.33548575 1.36535356 133.813477 78.228997
    Unten links KachelX 14281 KachelY + 1 2268 2.33510225 1.36527531 133.791504 78.224513
    Unten rechts KachelX + 1 14282 KachelY + 1 2268 2.33548575 1.36527531 133.813477 78.224513
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36535356-1.36527531) × R
    7.82500000000574e-05 × 6371000     		dl = 498.530750000366m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36535356-1.36527531) × R
    7.82500000000574e-05 × 6371000     		dr = 498.530750000366m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33510225-2.33548575) × cos(1.36535356) × R
    0.000383500000000314 × 0.204000635630838 × 6371000     		do = 498.430367023568m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33510225-2.33548575) × cos(1.36527531) × R
    0.000383500000000314 × 0.204077239467845 × 6371000     		du = 498.617531531545m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36535356)-sin(1.36527531))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204000635630838-0.204077239467845)×R²
    abs(2.33548575-2.33510225)×7.66038370069444e-05×R²
    0.000383500000000314×7.66038370069444e-05×6371000²
    0.000383500000000314×7.66038370069444e-05×40589641000000     		ar = 248529.518452981m²