Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14280 / 11205
↖ ↑ ↗
← N 49.346599°
W 23.115235°		 ← 795.88 m → N 49.346599°
W 23.104248°		 →
↑
795.87 m
↓
↑
795.87 m
↓
N 49.339441°
W 23.115235°		 ← 795.99 m →
633 456 m²		 N 49.339441°
W 23.104248°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14280 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11205 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435806274414062 y=0.341964721679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435806274414062 × 215)
    floor (0.435806274414062 × 32768)
    floor (14280.5)     		tx = 14280
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341964721679688 × 215)
    floor (0.341964721679688 × 32768)
    floor (11205.5)     		ty = 11205
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14280 / 11205 ti = "15/14280/11205"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14280/11205.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14280 ÷ 215
    14280 ÷ 32768     		x = 0.435791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11205 ÷ 215
    11205 ÷ 32768     		y = 0.341949462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435791015625 × 2 - 1) × π
    -0.12841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40343695
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341949462890625 × 2 - 1) × π
    0.31610107421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.993060812529083
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40343695} λ = -0.40343695}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.993060812529083))-π/2
    2×atan(2.6994844559266)-π/2
    2×1.21602847567033-π/2
    2.43205695134066-1.57079632675     		φ = 0.86126062
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40343695} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.115235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86126062 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.346599°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14280 KachelY 11205 -0.40343695 0.86126062 -23.115235 49.346599
    Oben rechts KachelX + 1 14281 KachelY 11205 -0.40324520 0.86126062 -23.104248 49.346599
    Unten links KachelX 14280 KachelY + 1 11206 -0.40343695 0.86113570 -23.115235 49.339441
    Unten rechts KachelX + 1 14281 KachelY + 1 11206 -0.40324520 0.86113570 -23.104248 49.339441
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86126062-0.86113570) × R
    0.000124920000000084 × 6371000     		dl = 795.865320000534m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86126062-0.86113570) × R
    0.000124920000000084 × 6371000     		dr = 795.865320000534m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40343695--0.40324520) × cos(0.86126062) × R
    0.000191749999999991 × 0.651481598510847 × 6371000     		do = 795.875491393552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40343695--0.40324520) × cos(0.86113570) × R
    0.000191749999999991 × 0.651576365788787 × 6371000     		du = 795.9912628199m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86126062)-sin(0.86113570))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651481598510847-0.651576365788787)×R²
    abs(-0.40324520--0.40343695)×9.4767277940222e-05×R²
    0.000191749999999991×9.4767277940222e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.4767277940222e-05×40589641000000     		ar = 633455.772694285m²