Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14279 / 7258
↖ ↑ ↗
← N 70.281705°
W 23.126220°		 ← 412.15 m → N 70.281705°
W 23.115235°		 →
↑
412.20 m
↓
↑
412.20 m
↓
N 70.277998°
W 23.126220°		 ← 412.23 m →
169 907 m²		 N 70.277998°
W 23.115235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14279 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7258 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435775756835938 y=0.221511840820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435775756835938 × 215)
    floor (0.435775756835938 × 32768)
    floor (14279.5)     		tx = 14279
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.221511840820312 × 215)
    floor (0.221511840820312 × 32768)
    floor (7258.5)     		ty = 7258
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14279 / 7258 ti = "15/14279/7258"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14279/7258.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14279 ÷ 215
    14279 ÷ 32768     		x = 0.435760498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7258 ÷ 215
    7258 ÷ 32768     		y = 0.22149658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435760498046875 × 2 - 1) × π
    -0.12847900390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40362869
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22149658203125 × 2 - 1) × π
    0.5570068359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.74988858373053
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40362869} λ = -0.40362869}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74988858373053))-π/2
    2×atan(5.75396155535959)-π/2
    2×1.39872173708996-π/2
    2.79744347417992-1.57079632675     		φ = 1.22664715
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40362869} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.126220°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22664715 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.281705°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14279 KachelY 7258 -0.40362869 1.22664715 -23.126220 70.281705
    Oben rechts KachelX + 1 14280 KachelY 7258 -0.40343695 1.22664715 -23.115235 70.281705
    Unten links KachelX 14279 KachelY + 1 7259 -0.40362869 1.22658245 -23.126220 70.277998
    Unten rechts KachelX + 1 14280 KachelY + 1 7259 -0.40343695 1.22658245 -23.115235 70.277998
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22664715-1.22658245) × R
    6.47000000000286e-05 × 6371000     		dl = 412.203700000182m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22664715-1.22658245) × R
    6.47000000000286e-05 × 6371000     		dr = 412.203700000182m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40362869--0.40343695) × cos(1.22664715) × R
    0.000191739999999996 × 0.337395866101262 × 6371000     		do = 412.154537326408m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40362869--0.40343695) × cos(1.22658245) × R
    0.000191739999999996 × 0.337456771571917 × 6371000     		du = 412.228937959612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22664715)-sin(1.22658245))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337395866101262-0.337456771571917)×R²
    abs(-0.40343695--0.40362869)×6.09054706550149e-05×R²
    0.000191739999999996×6.09054706550149e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.09054706550149e-05×40589641000000     		ar = 169906.959425667m²