Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14278 / 21205
↖ ↑ ↗
← S 46.717269°
W 23.137207°		 ← 837.55 m → S 46.717269°
W 23.126220°		 →
↑
837.47 m
↓
↑
837.47 m
↓
S 46.724800°
W 23.137207°		 ← 837.44 m →
701 376 m²		 S 46.724800°
W 23.126220°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14278 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21205 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435745239257812 y=0.647140502929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435745239257812 × 215)
    floor (0.435745239257812 × 32768)
    floor (14278.5)     		tx = 14278
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647140502929688 × 215)
    floor (0.647140502929688 × 32768)
    floor (21205.5)     		ty = 21205
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14278 / 21205 ti = "15/14278/21205"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14278/21205.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14278 ÷ 215
    14278 ÷ 32768     		x = 0.43572998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21205 ÷ 215
    21205 ÷ 32768     		y = 0.647125244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43572998046875 × 2 - 1) × π
    -0.1285400390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40382044
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.647125244140625 × 2 - 1) × π
    -0.29425048828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.924415172273163
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40382044} λ = -0.40382044}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.924415172273163))-π/2
    2×atan(0.396763389468177)-π/2
    2×0.377713085359814-π/2
    0.755426170719629-1.57079632675     		φ = -0.81537016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40382044} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.137207°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81537016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.717269°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14278 KachelY 21205 -0.40382044 -0.81537016 -23.137207 -46.717269
    Oben rechts KachelX + 1 14279 KachelY 21205 -0.40362869 -0.81537016 -23.126220 -46.717269
    Unten links KachelX 14278 KachelY + 1 21206 -0.40382044 -0.81550161 -23.137207 -46.724800
    Unten rechts KachelX + 1 14279 KachelY + 1 21206 -0.40362869 -0.81550161 -23.126220 -46.724800
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81537016--0.81550161) × R
    0.000131450000000033 × 6371000     		dl = 837.46795000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81537016--0.81550161) × R
    0.000131450000000033 × 6371000     		dr = 837.46795000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40382044--0.40362869) × cos(-0.81537016) × R
    0.000191749999999991 × 0.685598971567008 × 6371000     		do = 837.55461342585m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40382044--0.40362869) × cos(-0.81550161) × R
    0.000191749999999991 × 0.685503272747971 × 6371000     		du = 837.437703992336m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81537016)-sin(-0.81550161))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.685598971567008-0.685503272747971)×R²
    abs(-0.40362869--0.40382044)×9.56988190367047e-05×R²
    0.000191749999999991×9.56988190367047e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.56988190367047e-05×40589641000000     		ar = 701376.192177156m²