Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14278 / 18406
↖ ↑ ↗
← N 78.076752°
W140.784302°		 ← 63.10 m → N 78.076752°
W140.781555°		 →
↑
63.14 m
↓
↑
63.14 m
↓
N 78.076184°
W140.784302°		 ← 63.10 m →
3 984 m²		 N 78.076184°
W140.781555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14278 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18406 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108936309814453 y=0.140430450439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108936309814453 × 217)
    floor (0.108936309814453 × 131072)
    floor (14278.5)     		tx = 14278
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140430450439453 × 217)
    floor (0.140430450439453 × 131072)
    floor (18406.5)     		ty = 18406
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14278 / 18406 ti = "17/14278/18406"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14278/18406.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14278 ÷ 217
    14278 ÷ 131072     		x = 0.108932495117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18406 ÷ 217
    18406 ÷ 131072     		y = 0.140426635742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108932495117188 × 2 - 1) × π
    -0.782135009765625 × 3.1415926535     		Λ = -2.45714960
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140426635742188 × 2 - 1) × π
    0.719146728515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.25926607909325
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45714960} λ = -2.45714960}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25926607909325))-π/2
    2×atan(9.57605851755941)-π/2
    2×1.4667463575825-π/2
    2.93349271516501-1.57079632675     		φ = 1.36269639
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45714960} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.784302°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36269639 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.076752°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14278 KachelY 18406 -2.45714960 1.36269639 -140.784302 78.076752
    Oben rechts KachelX + 1 14279 KachelY 18406 -2.45710166 1.36269639 -140.781555 78.076752
    Unten links KachelX 14278 KachelY + 1 18407 -2.45714960 1.36268648 -140.784302 78.076184
    Unten rechts KachelX + 1 14279 KachelY + 1 18407 -2.45710166 1.36268648 -140.781555 78.076184
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36269639-1.36268648) × R
    9.90999999994635e-06 × 6371000     		dl = 63.1366099996582m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36269639-1.36268648) × R
    9.90999999994635e-06 × 6371000     		dr = 63.1366099996582m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45714960--2.45710166) × cos(1.36269639) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.206601204114702 × 6371000     		do = 63.1013256515825m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45714960--2.45710166) × cos(1.36268648) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.206610900298646 × 6371000     		du = 63.1042871157387m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36269639)-sin(1.36268648))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206601204114702-0.206610900298646)×R²
    abs(-2.45710166--2.45714960)×9.69618394366933e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.69618394366933e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.69618394366933e-06×40589641000000     		ar = 3984.09727666782m²