Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14278 / 11338
↖ ↑ ↗
← N 48.385442°
W 23.137207°		 ← 811.31 m → N 48.385442°
W 23.126220°		 →
↑
811.41 m
↓
↑
811.41 m
↓
N 48.378145°
W 23.137207°		 ← 811.43 m →
658 353 m²		 N 48.378145°
W 23.126220°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14278 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11338 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435745239257812 y=0.346023559570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435745239257812 × 215)
    floor (0.435745239257812 × 32768)
    floor (14278.5)     		tx = 14278
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346023559570312 × 215)
    floor (0.346023559570312 × 32768)
    floor (11338.5)     		ty = 11338
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14278 / 11338 ti = "15/14278/11338"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14278/11338.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14278 ÷ 215
    14278 ÷ 32768     		x = 0.43572998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11338 ÷ 215
    11338 ÷ 32768     		y = 0.34600830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43572998046875 × 2 - 1) × π
    -0.1285400390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40382044
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34600830078125 × 2 - 1) × π
    0.3079833984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.967558381931213
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40382044} λ = -0.40382044}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.967558381931213))-π/2
    2×atan(2.63151146315348)-π/2
    2×1.20764080152278-π/2
    2.41528160304556-1.57079632675     		φ = 0.84448528
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40382044} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.137207°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84448528 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.385442°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14278 KachelY 11338 -0.40382044 0.84448528 -23.137207 48.385442
    Oben rechts KachelX + 1 14279 KachelY 11338 -0.40362869 0.84448528 -23.126220 48.385442
    Unten links KachelX 14278 KachelY + 1 11339 -0.40382044 0.84435792 -23.137207 48.378145
    Unten rechts KachelX + 1 14279 KachelY + 1 11339 -0.40362869 0.84435792 -23.126220 48.378145
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84448528-0.84435792) × R
    0.000127360000000021 × 6371000     		dl = 811.410560000132m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84448528-0.84435792) × R
    0.000127360000000021 × 6371000     		dr = 811.410560000132m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40382044--0.40362869) × cos(0.84448528) × R
    0.000191749999999991 × 0.664116190237372 × 6371000     		do = 811.3104045544m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40382044--0.40362869) × cos(0.84435792) × R
    0.000191749999999991 × 0.664211402928441 × 6371000     		du = 811.426720114908m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84448528)-sin(0.84435792))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664116190237372-0.664211402928441)×R²
    abs(-0.40362869--0.40382044)×9.52126910693796e-05×R²
    0.000191749999999991×9.52126910693796e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.52126910693796e-05×40589641000000     		ar = 658353.020419983m²