Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14277 / 9545
↖ ↑ ↗
← N 59.839296°
W 23.148193°		 ← 613.78 m → N 59.839296°
W 23.137207°		 →
↑
613.85 m
↓
↑
613.85 m
↓
N 59.833775°
W 23.148193°		 ← 613.89 m →
376 800 m²		 N 59.833775°
W 23.137207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14277 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9545 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435714721679688 y=0.291305541992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435714721679688 × 215)
    floor (0.435714721679688 × 32768)
    floor (14277.5)     		tx = 14277
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291305541992188 × 215)
    floor (0.291305541992188 × 32768)
    floor (9545.5)     		ty = 9545
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14277 / 9545 ti = "15/14277/9545"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14277/9545.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14277 ÷ 215
    14277 ÷ 32768     		x = 0.435699462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9545 ÷ 215
    9545 ÷ 32768     		y = 0.291290283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435699462890625 × 2 - 1) × π
    -0.12860107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40401219
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.291290283203125 × 2 - 1) × π
    0.41741943359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.31136182600626
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40401219} λ = -0.40401219}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31136182600626))-π/2
    2×atan(3.7112243141952)-π/2
    2×1.30759452756209-π/2
    2.61518905512418-1.57079632675     		φ = 1.04439273
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40401219} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.148193°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04439273 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.839296°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14277 KachelY 9545 -0.40401219 1.04439273 -23.148193 59.839296
    Oben rechts KachelX + 1 14278 KachelY 9545 -0.40382044 1.04439273 -23.137207 59.839296
    Unten links KachelX 14277 KachelY + 1 9546 -0.40401219 1.04429638 -23.148193 59.833775
    Unten rechts KachelX + 1 14278 KachelY + 1 9546 -0.40382044 1.04429638 -23.137207 59.833775
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04439273-1.04429638) × R
    9.63499999999673e-05 × 6371000     		dl = 613.845849999792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04439273-1.04429638) × R
    9.63499999999673e-05 × 6371000     		dr = 613.845849999792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40401219--0.40382044) × cos(1.04439273) × R
    0.000191749999999991 × 0.502427076470238 × 6371000     		do = 613.784636878763m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40401219--0.40382044) × cos(1.04429638) × R
    0.000191749999999991 × 0.502510380235365 × 6371000     		du = 613.886404027916m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04439273)-sin(1.04429638))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.502427076470238-0.502510380235365)×R²
    abs(-0.40382044--0.40401219)×8.33037651274404e-05×R²
    0.000191749999999991×8.33037651274404e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.33037651274404e-05×40589641000000     		ar = 376800.387103862m²