Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14277 / 11339
↖ ↑ ↗
← N 48.378145°
W 23.148193°		 ← 811.43 m → N 48.378145°
W 23.137207°		 →
↑
811.47 m
↓
↑
811.47 m
↓
N 48.370847°
W 23.148193°		 ← 811.54 m →
658 499 m²		 N 48.370847°
W 23.137207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14277 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11339 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435714721679688 y=0.346054077148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435714721679688 × 215)
    floor (0.435714721679688 × 32768)
    floor (14277.5)     		tx = 14277
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346054077148438 × 215)
    floor (0.346054077148438 × 32768)
    floor (11339.5)     		ty = 11339
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14277 / 11339 ti = "15/14277/11339"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14277/11339.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14277 ÷ 215
    14277 ÷ 32768     		x = 0.435699462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11339 ÷ 215
    11339 ÷ 32768     		y = 0.346038818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435699462890625 × 2 - 1) × π
    -0.12860107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40401219
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346038818359375 × 2 - 1) × π
    0.30792236328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.967366634332733
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40401219} λ = -0.40401219}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.967366634332733))-π/2
    2×atan(2.63100692552353)-π/2
    2×1.20757712561633-π/2
    2.41515425123267-1.57079632675     		φ = 0.84435792
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40401219} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.148193°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84435792 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.378145°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14277 KachelY 11339 -0.40401219 0.84435792 -23.148193 48.378145
    Oben rechts KachelX + 1 14278 KachelY 11339 -0.40382044 0.84435792 -23.137207 48.378145
    Unten links KachelX 14277 KachelY + 1 11340 -0.40401219 0.84423055 -23.148193 48.370847
    Unten rechts KachelX + 1 14278 KachelY + 1 11340 -0.40382044 0.84423055 -23.137207 48.370847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84435792-0.84423055) × R
    0.00012736999999996 × 6371000     		dl = 811.474269999745m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84435792-0.84423055) × R
    0.00012736999999996 × 6371000     		dr = 811.474269999745m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40401219--0.40382044) × cos(0.84435792) × R
    0.000191749999999991 × 0.664211402928441 × 6371000     		do = 811.426720114908m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40401219--0.40382044) × cos(0.84423055) × R
    0.000191749999999991 × 0.664306612320225 × 6371000     		du = 811.54303164488m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84435792)-sin(0.84423055))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664211402928441-0.664306612320225)×R²
    abs(-0.40382044--0.40401219)×9.52093917839791e-05×R²
    0.000191749999999991×9.52093917839791e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.52093917839791e-05×40589641000000     		ar = 658499.098160965m²