Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14276 / 9547
↖ ↑ ↗
← N 59.828254°
W 23.159180°		 ← 613.99 m → N 59.828254°
W 23.148193°		 →
↑
614.04 m
↓
↑
614.04 m
↓
N 59.822732°
W 23.159180°		 ← 614.09 m →
377 043 m²		 N 59.822732°
W 23.148193°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14276 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9547 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435684204101562 y=0.291366577148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435684204101562 × 215)
    floor (0.435684204101562 × 32768)
    floor (14276.5)     		tx = 14276
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291366577148438 × 215)
    floor (0.291366577148438 × 32768)
    floor (9547.5)     		ty = 9547
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14276 / 9547 ti = "15/14276/9547"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14276/9547.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14276 ÷ 215
    14276 ÷ 32768     		x = 0.4356689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9547 ÷ 215
    9547 ÷ 32768     		y = 0.291351318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4356689453125 × 2 - 1) × π
    -0.128662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.40420394
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.291351318359375 × 2 - 1) × π
    0.41729736328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.3109783308093
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40420394} λ = -0.40420394}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.3109783308093))-π/2
    2×atan(3.7098013503632)-π/2
    2×1.30749817240337-π/2
    2.61499634480674-1.57079632675     		φ = 1.04420002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40420394} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.159180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04420002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.828254°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14276 KachelY 9547 -0.40420394 1.04420002 -23.159180 59.828254
    Oben rechts KachelX + 1 14277 KachelY 9547 -0.40401219 1.04420002 -23.148193 59.828254
    Unten links KachelX 14276 KachelY + 1 9548 -0.40420394 1.04410364 -23.159180 59.822732
    Unten rechts KachelX + 1 14277 KachelY + 1 9548 -0.40401219 1.04410364 -23.148193 59.822732
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04420002-1.04410364) × R
    9.6379999999785e-05 × 6371000     		dl = 614.03697999863m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04420002-1.04410364) × R
    9.6379999999785e-05 × 6371000     		dr = 614.03697999863m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40420394--0.40401219) × cos(1.04420002) × R
    0.000191749999999991 × 0.502593687980754 × 6371000     		do = 613.988176039512m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40420394--0.40401219) × cos(1.04410364) × R
    0.000191749999999991 × 0.502677008348921 × 6371000     		du = 614.08996347159m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04420002)-sin(1.04410364))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.502593687980754-0.502677008348921)×R²
    abs(-0.40401219--0.40420394)×8.33203681672723e-05×R²
    0.000191749999999991×8.33203681672723e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.33203681672723e-05×40589641000000     		ar = 377042.696286094m²