Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14276 / 7617
↖ ↑ ↗
← N 68.907052°
W 23.159180°		 ← 439.65 m → N 68.907052°
W 23.148193°		 →
↑
439.73 m
↓
↑
439.73 m
↓
N 68.903097°
W 23.159180°		 ← 439.72 m →
193 341 m²		 N 68.903097°
W 23.148193°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14276 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7617 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435684204101562 y=0.232467651367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435684204101562 × 215)
    floor (0.435684204101562 × 32768)
    floor (14276.5)     		tx = 14276
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.232467651367188 × 215)
    floor (0.232467651367188 × 32768)
    floor (7617.5)     		ty = 7617
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14276 / 7617 ti = "15/14276/7617"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14276/7617.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14276 ÷ 215
    14276 ÷ 32768     		x = 0.4356689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7617 ÷ 215
    7617 ÷ 32768     		y = 0.232452392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4356689453125 × 2 - 1) × π
    -0.128662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.40420394
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.232452392578125 × 2 - 1) × π
    0.53509521484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.68105119587613
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40420394} λ = -0.40420394}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68105119587613))-π/2
    2×atan(5.37119918697492)-π/2
    2×1.38672562592857-π/2
    2.77345125185714-1.57079632675     		φ = 1.20265493
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40420394} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.159180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20265493 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.907052°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14276 KachelY 7617 -0.40420394 1.20265493 -23.159180 68.907052
    Oben rechts KachelX + 1 14277 KachelY 7617 -0.40401219 1.20265493 -23.148193 68.907052
    Unten links KachelX 14276 KachelY + 1 7618 -0.40420394 1.20258591 -23.159180 68.903097
    Unten rechts KachelX + 1 14277 KachelY + 1 7618 -0.40401219 1.20258591 -23.148193 68.903097
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20265493-1.20258591) × R
    6.90199999999752e-05 × 6371000     		dl = 439.726419999842m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20265493-1.20258591) × R
    6.90199999999752e-05 × 6371000     		dr = 439.726419999842m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40420394--0.40401219) × cos(1.20265493) × R
    0.000191749999999991 × 0.359881981786804 × 6371000     		do = 439.645954318524m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40420394--0.40401219) × cos(1.20258591) × R
    0.000191749999999991 × 0.359946376440095 × 6371000     		du = 439.724621354473m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20265493)-sin(1.20258591))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359881981786804-0.359946376440095)×R²
    abs(-0.40401219--0.40420394)×6.43946532903894e-05×R²
    0.000191749999999991×6.43946532903894e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.43946532903894e-05×40589641000000     		ar = 193341.23762363m²