Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14276 / 11203
↖ ↑ ↗
← N 49.360912°
W 23.159180°		 ← 795.64 m → N 49.360912°
W 23.148193°		 →
↑
795.67 m
↓
↑
795.67 m
↓
N 49.353756°
W 23.159180°		 ← 795.76 m →
633 119 m²		 N 49.353756°
W 23.148193°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14276 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11203 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435684204101562 y=0.341903686523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435684204101562 × 215)
    floor (0.435684204101562 × 32768)
    floor (14276.5)     		tx = 14276
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341903686523438 × 215)
    floor (0.341903686523438 × 32768)
    floor (11203.5)     		ty = 11203
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14276 / 11203 ti = "15/14276/11203"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14276/11203.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14276 ÷ 215
    14276 ÷ 32768     		x = 0.4356689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11203 ÷ 215
    11203 ÷ 32768     		y = 0.341888427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4356689453125 × 2 - 1) × π
    -0.128662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.40420394
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341888427734375 × 2 - 1) × π
    0.31622314453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.993444307726044
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40420394} λ = -0.40420394}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.993444307726044))-π/2
    2×atan(2.70051989377975)-π/2
    2×1.21615337752972-π/2
    2.43230675505944-1.57079632675     		φ = 0.86151043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40420394} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.159180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86151043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.360912°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14276 KachelY 11203 -0.40420394 0.86151043 -23.159180 49.360912
    Oben rechts KachelX + 1 14277 KachelY 11203 -0.40401219 0.86151043 -23.148193 49.360912
    Unten links KachelX 14276 KachelY + 1 11204 -0.40420394 0.86138554 -23.159180 49.353756
    Unten rechts KachelX + 1 14277 KachelY + 1 11204 -0.40401219 0.86138554 -23.148193 49.353756
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86151043-0.86138554) × R
    0.000124890000000044 × 6371000     		dl = 795.674190000281m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86151043-0.86138554) × R
    0.000124890000000044 × 6371000     		dr = 795.674190000281m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40420394--0.40401219) × cos(0.86151043) × R
    0.000191749999999991 × 0.651292056222137 × 6371000     		do = 795.643939094129m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40420394--0.40401219) × cos(0.86138554) × R
    0.000191749999999991 × 0.651386821066532 × 6371000     		du = 795.759707547563m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86151043)-sin(0.86138554))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651292056222137-0.651386821066532)×R²
    abs(-0.40401219--0.40420394)×9.47648443951898e-05×R²
    0.000191749999999991×9.47648443951898e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.47648443951898e-05×40589641000000     		ar = 633119.404575053m²