Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14275 / 7615
↖ ↑ ↗
← N 68.914957°
W 23.170166°		 ← 439.49 m → N 68.914957°
W 23.159180°		 →
↑
439.47 m
↓
↑
439.47 m
↓
N 68.911005°
W 23.170166°		 ← 439.57 m →
193 160 m²		 N 68.911005°
W 23.159180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14275 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7615 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435653686523438 y=0.232406616210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435653686523438 × 215)
    floor (0.435653686523438 × 32768)
    floor (14275.5)     		tx = 14275
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.232406616210938 × 215)
    floor (0.232406616210938 × 32768)
    floor (7615.5)     		ty = 7615
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14275 / 7615 ti = "15/14275/7615"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14275/7615.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14275 ÷ 215
    14275 ÷ 32768     		x = 0.435638427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7615 ÷ 215
    7615 ÷ 32768     		y = 0.232391357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435638427734375 × 2 - 1) × π
    -0.12872314453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.40439569
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.232391357421875 × 2 - 1) × π
    0.53521728515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.68143469107309
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40439569} λ = -0.40439569}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68143469107309))-π/2
    2×atan(5.37325941108282)-π/2
    2×1.38679462009118-π/2
    2.77358924018236-1.57079632675     		φ = 1.20279291
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40439569} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.170166°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20279291 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.914957°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14275 KachelY 7615 -0.40439569 1.20279291 -23.170166 68.914957
    Oben rechts KachelX + 1 14276 KachelY 7615 -0.40420394 1.20279291 -23.159180 68.914957
    Unten links KachelX 14275 KachelY + 1 7616 -0.40439569 1.20272393 -23.170166 68.911005
    Unten rechts KachelX + 1 14276 KachelY + 1 7616 -0.40420394 1.20272393 -23.159180 68.911005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20279291-1.20272393) × R
    6.89799999999963e-05 × 6371000     		dl = 439.471579999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20279291-1.20272393) × R
    6.89799999999963e-05 × 6371000     		dr = 439.471579999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40439569--0.40420394) × cos(1.20279291) × R
    0.000191749999999991 × 0.359753243320205 × 6371000     		do = 439.488682354741m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40439569--0.40420394) × cos(1.20272393) × R
    0.000191749999999991 × 0.359817604079576 × 6371000     		du = 439.567307984548m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20279291)-sin(1.20272393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359753243320205-0.359817604079576)×R²
    abs(-0.40420394--0.40439569)×6.43607593704965e-05×R²
    0.000191749999999991×6.43607593704965e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.43607593704965e-05×40589641000000     		ar = 193160.062568408m²