Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14274 / 9532
↖ ↑ ↗
← N 59.910976°
W 23.181152°		 ← 612.43 m → N 59.910976°
W 23.170166°		 →
↑
612.51 m
↓
↑
612.51 m
↓
N 59.905468°
W 23.181152°		 ← 612.53 m →
375 150 m²		 N 59.905468°
W 23.170166°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14274 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9532 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435623168945312 y=0.290908813476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435623168945312 × 215)
    floor (0.435623168945312 × 32768)
    floor (14274.5)     		tx = 14274
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.290908813476562 × 215)
    floor (0.290908813476562 × 32768)
    floor (9532.5)     		ty = 9532
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14274 / 9532 ti = "15/14274/9532"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14274/9532.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14274 ÷ 215
    14274 ÷ 32768     		x = 0.43560791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9532 ÷ 215
    9532 ÷ 32768     		y = 0.2908935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43560791015625 × 2 - 1) × π
    -0.1287841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40458743
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2908935546875 × 2 - 1) × π
    0.418212890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.3138545447865
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40458743} λ = -0.40458743}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.3138545447865))-π/2
    2×atan(3.72048689244607)-π/2
    2×1.30822005777484-π/2
    2.61644011554968-1.57079632675     		φ = 1.04564379
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40458743} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.181152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04564379 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.910976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14274 KachelY 9532 -0.40458743 1.04564379 -23.181152 59.910976
    Oben rechts KachelX + 1 14275 KachelY 9532 -0.40439569 1.04564379 -23.170166 59.910976
    Unten links KachelX 14274 KachelY + 1 9533 -0.40458743 1.04554765 -23.181152 59.905468
    Unten rechts KachelX + 1 14275 KachelY + 1 9533 -0.40439569 1.04554765 -23.170166 59.905468
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04564379-1.04554765) × R
    9.61399999999113e-05 × 6371000     		dl = 612.507939999435m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04564379-1.04554765) × R
    9.61399999999113e-05 × 6371000     		dr = 612.507939999435m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40458743--0.40439569) × cos(1.04564379) × R
    0.000191740000000051 × 0.501344992582908 × 6371000     		do = 612.430780040926m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40458743--0.40439569) × cos(1.04554765) × R
    0.000191740000000051 × 0.501428175158387 × 6371000     		du = 612.532393840485m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04564379)-sin(1.04554765))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.501344992582908-0.501428175158387)×R²
    abs(-0.40439569--0.40458743)×8.31825754785687e-05×R²
    0.000191740000000051×8.31825754785687e-05×6371000²
    0.000191740000000051×8.31825754785687e-05×40589641000000     		ar = 375149.835393215m²