Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14272 / 7235
↖ ↑ ↗
← N 70.366783°
W 23.203125°		 ← 410.47 m → N 70.366783°
W 23.192139°		 →
↑
410.48 m
↓
↑
410.48 m
↓
N 70.363091°
W 23.203125°		 ← 410.54 m →
168 506 m²		 N 70.363091°
W 23.192139°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7235 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435562133789062 y=0.220809936523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435562133789062 × 215)
    floor (0.435562133789062 × 32768)
    floor (14272.5)     		tx = 14272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.220809936523438 × 215)
    floor (0.220809936523438 × 32768)
    floor (7235.5)     		ty = 7235
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14272 / 7235 ti = "15/14272/7235"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14272/7235.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14272 ÷ 215
    14272 ÷ 32768     		x = 0.435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7235 ÷ 215
    7235 ÷ 32768     		y = 0.220794677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435546875 × 2 - 1) × π
    -0.12890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40497093
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.220794677734375 × 2 - 1) × π
    0.55841064453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.75429877849558
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40497093} λ = -0.40497093}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.75429877849558))-π/2
    2×atan(5.77939368559227)-π/2
    2×1.39946418532488-π/2
    2.79892837064975-1.57079632675     		φ = 1.22813204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40497093} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.203125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22813204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.366783°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14272 KachelY 7235 -0.40497093 1.22813204 -23.203125 70.366783
    Oben rechts KachelX + 1 14273 KachelY 7235 -0.40477918 1.22813204 -23.192139 70.366783
    Unten links KachelX 14272 KachelY + 1 7236 -0.40497093 1.22806761 -23.203125 70.363091
    Unten rechts KachelX + 1 14273 KachelY + 1 7236 -0.40477918 1.22806761 -23.192139 70.363091
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22813204-1.22806761) × R
    6.44299999998932e-05 × 6371000     		dl = 410.48352999932m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22813204-1.22806761) × R
    6.44299999998932e-05 × 6371000     		dr = 410.48352999932m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40497093--0.40477918) × cos(1.22813204) × R
    0.000191749999999991 × 0.3359976743597 × 6371000     		do = 410.467946906508m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40497093--0.40477918) × cos(1.22806761) × R
    0.000191749999999991 × 0.336058357883446 × 6371000     		du = 410.542080280944m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22813204)-sin(1.22806761))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3359976743597-0.336058357883446)×R²
    abs(-0.40477918--0.40497093)×6.06835237460523e-05×R²
    0.000191749999999991×6.06835237460523e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.06835237460523e-05×40589641000000     		ar = 168505.54712062m²