Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14271 / 10571
↖ ↑ ↗
← N 53.677188°
W 23.214112°		 ← 723.62 m → N 53.677188°
W 23.203125°		 →
↑
723.68 m
↓
↑
723.68 m
↓
N 53.670680°
W 23.214112°		 ← 723.73 m →
523 710 m²		 N 53.670680°
W 23.203125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14271 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10571 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435531616210938 y=0.322616577148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435531616210938 × 215)
    floor (0.435531616210938 × 32768)
    floor (14271.5)     		tx = 14271
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322616577148438 × 215)
    floor (0.322616577148438 × 32768)
    floor (10571.5)     		ty = 10571
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14271 / 10571 ti = "15/14271/10571"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14271/10571.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14271 ÷ 215
    14271 ÷ 32768     		x = 0.435516357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10571 ÷ 215
    10571 ÷ 32768     		y = 0.322601318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435516357421875 × 2 - 1) × π
    -0.12896728515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40516268
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322601318359375 × 2 - 1) × π
    0.35479736328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.11462878996555
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40516268} λ = -0.40516268}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11462878996555))-π/2
    2×atan(3.04843635895833)-π/2
    2×1.25381999766668-π/2
    2.50763999533336-1.57079632675     		φ = 0.93684367
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40516268} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.214112°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93684367 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.677188°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14271 KachelY 10571 -0.40516268 0.93684367 -23.214112 53.677188
    Oben rechts KachelX + 1 14272 KachelY 10571 -0.40497093 0.93684367 -23.203125 53.677188
    Unten links KachelX 14271 KachelY + 1 10572 -0.40516268 0.93673008 -23.214112 53.670680
    Unten rechts KachelX + 1 14272 KachelY + 1 10572 -0.40497093 0.93673008 -23.203125 53.670680
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93684367-0.93673008) × R
    0.000113589999999997 × 6371000     		dl = 723.681889999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93684367-0.93673008) × R
    0.000113589999999997 × 6371000     		dr = 723.681889999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40516268--0.40497093) × cos(0.93684367) × R
    0.000191749999999991 × 0.592334002802623 × 6371000     		do = 723.618466933258m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40516268--0.40497093) × cos(0.93673008) × R
    0.000191749999999991 × 0.592425517593882 × 6371000     		du = 723.730264994217m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93684367)-sin(0.93673008))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.592334002802623-0.592425517593882)×R²
    abs(-0.40497093--0.40516268)×9.15147912595726e-05×R²
    0.000191749999999991×9.15147912595726e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.15147912595726e-05×40589641000000     		ar = 523710.033468496m²