Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14270 / 20246
↖ ↑ ↗
← S 39.010647°
W 23.225097°		 ← 949.20 m → S 39.010647°
W 23.214112°		 →
↑
949.22 m
↓
↑
949.22 m
↓
S 39.019184°
W 23.225097°		 ← 949.09 m →
900 940 m²		 S 39.019184°
W 23.214112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14270 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20246 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435501098632812 y=0.617874145507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435501098632812 × 215)
    floor (0.435501098632812 × 32768)
    floor (14270.5)     		tx = 14270
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.617874145507812 × 215)
    floor (0.617874145507812 × 32768)
    floor (20246.5)     		ty = 20246
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14270 / 20246 ti = "15/14270/20246"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14270/20246.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14270 ÷ 215
    14270 ÷ 32768     		x = 0.43548583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20246 ÷ 215
    20246 ÷ 32768     		y = 0.61785888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43548583984375 × 2 - 1) × π
    -0.1290283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.40535442
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61785888671875 × 2 - 1) × π
    -0.2357177734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.740529225330627
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40535442} λ = -0.40535442}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.740529225330627))-π/2
    2×atan(0.476861481554462)-π/2
    2×0.444966042213974-π/2
    0.889932084427948-1.57079632675     		φ = -0.68086424
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40535442} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.225097°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68086424 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.010647°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14270 KachelY 20246 -0.40535442 -0.68086424 -23.225097 -39.010647
    Oben rechts KachelX + 1 14271 KachelY 20246 -0.40516268 -0.68086424 -23.214112 -39.010647
    Unten links KachelX 14270 KachelY + 1 20247 -0.40535442 -0.68101323 -23.225097 -39.019184
    Unten rechts KachelX + 1 14271 KachelY + 1 20247 -0.40516268 -0.68101323 -23.214112 -39.019184
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68086424--0.68101323) × R
    0.000148990000000015 × 6371000     		dl = 949.215290000099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68086424--0.68101323) × R
    0.000148990000000015 × 6371000     		dr = 949.215290000099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40535442--0.40516268) × cos(-0.68086424) × R
    0.000191739999999996 × 0.777029000346795 × 6371000     		do = 949.199620694275m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40535442--0.40516268) × cos(-0.68101323) × R
    0.000191739999999996 × 0.776935207762553 × 6371000     		du = 949.085045967532m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68086424)-sin(-0.68101323))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.777029000346795-0.776935207762553)×R²
    abs(-0.40516268--0.40535442)×9.37925842424692e-05×R²
    0.000191739999999996×9.37925842424692e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.37925842424692e-05×40589641000000     		ar = 900940.416850394m²