Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14270 / 10569
↖ ↑ ↗
← N 53.690201°
W 23.225097°		 ← 723.36 m → N 53.690201°
W 23.214112°		 →
↑
723.43 m
↓
↑
723.43 m
↓
N 53.683695°
W 23.225097°		 ← 723.47 m →
523 337 m²		 N 53.683695°
W 23.214112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14270 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10569 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435501098632812 y=0.322555541992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435501098632812 × 215)
    floor (0.435501098632812 × 32768)
    floor (14270.5)     		tx = 14270
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322555541992188 × 215)
    floor (0.322555541992188 × 32768)
    floor (10569.5)     		ty = 10569
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14270 / 10569 ti = "15/14270/10569"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14270/10569.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14270 ÷ 215
    14270 ÷ 32768     		x = 0.43548583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10569 ÷ 215
    10569 ÷ 32768     		y = 0.322540283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43548583984375 × 2 - 1) × π
    -0.1290283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.40535442
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322540283203125 × 2 - 1) × π
    0.35491943359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.11501228516251
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40535442} λ = -0.40535442}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11501228516251))-π/2
    2×atan(3.04960564385347)-π/2
    2×1.25393355874355-π/2
    2.50786711748711-1.57079632675     		φ = 0.93707079
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40535442} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.225097°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93707079 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.690201°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14270 KachelY 10569 -0.40535442 0.93707079 -23.225097 53.690201
    Oben rechts KachelX + 1 14271 KachelY 10569 -0.40516268 0.93707079 -23.214112 53.690201
    Unten links KachelX 14270 KachelY + 1 10570 -0.40535442 0.93695724 -23.225097 53.683695
    Unten rechts KachelX + 1 14271 KachelY + 1 10570 -0.40516268 0.93695724 -23.214112 53.683695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93707079-0.93695724) × R
    0.000113550000000018 × 6371000     		dl = 723.427050000113m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93707079-0.93695724) × R
    0.000113550000000018 × 6371000     		dr = 723.427050000113m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40535442--0.40516268) × cos(0.93707079) × R
    0.000191739999999996 × 0.592150998642804 × 6371000     		do = 723.357175928607m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40535442--0.40516268) × cos(0.93695724) × R
    0.000191739999999996 × 0.592242496483858 × 6371000     		du = 723.468947453201m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93707079)-sin(0.93695724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.592150998642804-0.592242496483858)×R²
    abs(-0.40516268--0.40535442)×9.14978410536671e-05×R²
    0.000191739999999996×9.14978410536671e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.14978410536671e-05×40589641000000     		ar = 523336.577712901m²