Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14269 / 7355
↖ ↑ ↗
← N 69.918987°
W 23.236084°		 ← 419.45 m → N 69.918987°
W 23.225097°		 →
↑
419.47 m
↓
↑
419.47 m
↓
N 69.915214°
W 23.236084°		 ← 419.52 m →
175 960 m²		 N 69.915214°
W 23.225097°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14269 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7355 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435470581054688 y=0.224472045898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435470581054688 × 215)
    floor (0.435470581054688 × 32768)
    floor (14269.5)     		tx = 14269
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224472045898438 × 215)
    floor (0.224472045898438 × 32768)
    floor (7355.5)     		ty = 7355
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14269 / 7355 ti = "15/14269/7355"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14269/7355.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14269 ÷ 215
    14269 ÷ 32768     		x = 0.435455322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7355 ÷ 215
    7355 ÷ 32768     		y = 0.224456787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435455322265625 × 2 - 1) × π
    -0.12908935546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40554617
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224456787109375 × 2 - 1) × π
    0.55108642578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.73128906667795
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40554617} λ = -0.40554617}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73128906667795))-π/2
    2×atan(5.64792977595518)-π/2
    2×1.39555642818436-π/2
    2.79111285636873-1.57079632675     		φ = 1.22031653
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40554617} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.236084°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22031653 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.918987°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14269 KachelY 7355 -0.40554617 1.22031653 -23.236084 69.918987
    Oben rechts KachelX + 1 14270 KachelY 7355 -0.40535442 1.22031653 -23.225097 69.918987
    Unten links KachelX 14269 KachelY + 1 7356 -0.40554617 1.22025069 -23.236084 69.915214
    Unten rechts KachelX + 1 14270 KachelY + 1 7356 -0.40535442 1.22025069 -23.225097 69.915214
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22031653-1.22025069) × R
    6.58399999999837e-05 × 6371000     		dl = 419.466639999896m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22031653-1.22025069) × R
    6.58399999999837e-05 × 6371000     		dr = 419.466639999896m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40554617--0.40535442) × cos(1.22031653) × R
    0.000191749999999991 × 0.343348475986608 × 6371000     		do = 419.447974692902m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40554617--0.40535442) × cos(1.22025069) × R
    0.000191749999999991 × 0.343410312702587 × 6371000     		du = 419.523516852233m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22031653)-sin(1.22025069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343348475986608-0.343410312702587)×R²
    abs(-0.40535442--0.40554617)×6.18367159787581e-05×R²
    0.000191749999999991×6.18367159787581e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.18367159787581e-05×40589641000000     		ar = 175960.276370991m²