Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14269 / 18485
↖ ↑ ↗
← N 78.031841°
W140.809021°		 ← 63.32 m → N 78.031841°
W140.806275°		 →
↑
63.39 m
↓
↑
63.39 m
↓
N 78.031271°
W140.809021°		 ← 63.33 m →
4 014 m²		 N 78.031271°
W140.806275°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14269 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18485 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108867645263672 y=0.141033172607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108867645263672 × 217)
    floor (0.108867645263672 × 131072)
    floor (14269.5)     		tx = 14269
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141033172607422 × 217)
    floor (0.141033172607422 × 131072)
    floor (18485.5)     		ty = 18485
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14269 / 18485 ti = "17/14269/18485"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14269/18485.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14269 ÷ 217
    14269 ÷ 131072     		x = 0.108863830566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18485 ÷ 217
    18485 ÷ 131072     		y = 0.141029357910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108863830566406 × 2 - 1) × π
    -0.782272338867188 × 3.1415926535     		Λ = -2.45758103
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141029357910156 × 2 - 1) × π
    0.717941284179688 × 3.1415926535     		Φ = 2.25547906402326
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45758103} λ = -2.45758103}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25547906402326))-π/2
    2×atan(9.53986242048371)-π/2
    2×1.46635443102627-π/2
    2.93270886205255-1.57079632675     		φ = 1.36191254
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45758103} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.809021°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36191254 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.031841°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14269 KachelY 18485 -2.45758103 1.36191254 -140.809021 78.031841
    Oben rechts KachelX + 1 14270 KachelY 18485 -2.45753310 1.36191254 -140.806275 78.031841
    Unten links KachelX 14269 KachelY + 1 18486 -2.45758103 1.36190259 -140.809021 78.031271
    Unten rechts KachelX + 1 14270 KachelY + 1 18486 -2.45753310 1.36190259 -140.806275 78.031271
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36191254-1.36190259) × R
    9.95000000014734e-06 × 6371000     		dl = 63.3914500009387m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36191254-1.36190259) × R
    9.95000000014734e-06 × 6371000     		dr = 63.3914500009387m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45758103--2.45753310) × cos(1.36191254) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.207368079187372 × 6371000     		do = 63.3223376178956m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45758103--2.45753310) × cos(1.36190259) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.207377812893869 × 6371000     		du = 63.3253099222707m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36191254)-sin(1.36190259))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207368079187372-0.207377812893869)×R²
    abs(-2.45753310--2.45758103)×9.73370649634542e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.73370649634542e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.73370649634542e-06×40589641000000     		ar = 4014.18900831844m²