Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14269 / 18453
↖ ↑ ↗
← N 78.050053°
W140.809021°		 ← 63.23 m → N 78.050053°
W140.806275°		 →
↑
63.26 m
↓
↑
63.26 m
↓
N 78.049484°
W140.809021°		 ← 63.23 m →
4 000 m²		 N 78.049484°
W140.806275°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14269 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18453 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108867645263672 y=0.140789031982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108867645263672 × 217)
    floor (0.108867645263672 × 131072)
    floor (14269.5)     		tx = 14269
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140789031982422 × 217)
    floor (0.140789031982422 × 131072)
    floor (18453.5)     		ty = 18453
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14269 / 18453 ti = "17/14269/18453"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14269/18453.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14269 ÷ 217
    14269 ÷ 131072     		x = 0.108863830566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18453 ÷ 217
    18453 ÷ 131072     		y = 0.140785217285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108863830566406 × 2 - 1) × π
    -0.782272338867188 × 3.1415926535     		Λ = -2.45758103
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140785217285156 × 2 - 1) × π
    0.718429565429688 × 3.1415926535     		Φ = 2.2570130448111
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45758103} λ = -2.45758103}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2570130448111))-π/2
    2×atan(9.55450761600787)-π/2
    2×1.46651336107394-π/2
    2.93302672214789-1.57079632675     		φ = 1.36223040
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45758103} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.809021°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36223040 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.050053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14269 KachelY 18453 -2.45758103 1.36223040 -140.809021 78.050053
    Oben rechts KachelX + 1 14270 KachelY 18453 -2.45753310 1.36223040 -140.806275 78.050053
    Unten links KachelX 14269 KachelY + 1 18454 -2.45758103 1.36222047 -140.809021 78.049484
    Unten rechts KachelX + 1 14270 KachelY + 1 18454 -2.45753310 1.36222047 -140.806275 78.049484
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36223040-1.36222047) × R
    9.93000000004685e-06 × 6371000     		dl = 63.2640300002985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36223040-1.36222047) × R
    9.93000000004685e-06 × 6371000     		dr = 63.2640300002985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45758103--2.45753310) × cos(1.36223040) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.207057118042546 × 6371000     		do = 63.2273818914603m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45758103--2.45753310) × cos(1.36222047) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.207066832837875 × 6371000     		du = 63.2303484210828m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36223040)-sin(1.36222047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207057118042546-0.207066832837875)×R²
    abs(-2.45753310--2.45758103)×9.714795328436e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.714795328436e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.714795328436e-06×40589641000000     		ar = 4000.11282216811m²