Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14268 / 18451
↖ ↑ ↗
← N 78.051190°
W140.811768°		 ← 63.23 m → N 78.051190°
W140.809021°		 →
↑
63.26 m
↓
↑
63.26 m
↓
N 78.050621°
W140.811768°		 ← 63.24 m →
4 001 m²		 N 78.050621°
W140.809021°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14268 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18451 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108860015869141 y=0.140773773193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108860015869141 × 217)
    floor (0.108860015869141 × 131072)
    floor (14268.5)     		tx = 14268
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140773773193359 × 217)
    floor (0.140773773193359 × 131072)
    floor (18451.5)     		ty = 18451
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14268 / 18451 ti = "17/14268/18451"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14268/18451.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14268 ÷ 217
    14268 ÷ 131072     		x = 0.108856201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18451 ÷ 217
    18451 ÷ 131072     		y = 0.140769958496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108856201171875 × 2 - 1) × π
    -0.78228759765625 × 3.1415926535     		Λ = -2.45762897
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140769958496094 × 2 - 1) × π
    0.718460083007812 × 3.1415926535     		Φ = 2.25710891861034
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45762897} λ = -2.45762897}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25710891861034))-π/2
    2×atan(9.55542368686578)-π/2
    2×1.46652328628496-π/2
    2.93304657256993-1.57079632675     		φ = 1.36225025
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45762897} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.811768°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36225025 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.051190°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14268 KachelY 18451 -2.45762897 1.36225025 -140.811768 78.051190
    Oben rechts KachelX + 1 14269 KachelY 18451 -2.45758103 1.36225025 -140.809021 78.051190
    Unten links KachelX 14268 KachelY + 1 18452 -2.45762897 1.36224032 -140.811768 78.050621
    Unten rechts KachelX + 1 14269 KachelY + 1 18452 -2.45758103 1.36224032 -140.809021 78.050621
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36225025-1.36224032) × R
    9.93000000004685e-06 × 6371000     		dl = 63.2640300002985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36225025-1.36224032) × R
    9.93000000004685e-06 × 6371000     		dr = 63.2640300002985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45762897--2.45758103) × cos(1.36225025) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.20703769817397 × 6371000     		do = 63.2346421726399m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45762897--2.45758103) × cos(1.36224032) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.20704741301011 × 6371000     		du = 63.2376093336571m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36225025)-sin(1.36224032))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20703769817397-0.20704741301011)×R²
    abs(-2.45758103--2.45762897)×9.71483614059521e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.71483614059521e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.71483614059521e-06×40589641000000     		ar = 4000.57215659854m²