Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14268 / 18395
↖ ↑ ↗
← N 78.082992°
W140.811768°		 ← 63.07 m → N 78.082992°
W140.809021°		 →
↑
63.07 m
↓
↑
63.07 m
↓
N 78.082425°
W140.811768°		 ← 63.07 m →
3 978 m²		 N 78.082425°
W140.809021°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14268 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18395 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108860015869141 y=0.140346527099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108860015869141 × 217)
    floor (0.108860015869141 × 131072)
    floor (14268.5)     		tx = 14268
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140346527099609 × 217)
    floor (0.140346527099609 × 131072)
    floor (18395.5)     		ty = 18395
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14268 / 18395 ti = "17/14268/18395"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14268/18395.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14268 ÷ 217
    14268 ÷ 131072     		x = 0.108856201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18395 ÷ 217
    18395 ÷ 131072     		y = 0.140342712402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108856201171875 × 2 - 1) × π
    -0.78228759765625 × 3.1415926535     		Λ = -2.45762897
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140342712402344 × 2 - 1) × π
    0.719314575195312 × 3.1415926535     		Φ = 2.25979338498907
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45762897} λ = -2.45762897}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25979338498907))-π/2
    2×atan(9.58110936122723)-π/2
    2×1.46680081455014-π/2
    2.93360162910028-1.57079632675     		φ = 1.36280530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45762897} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.811768°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36280530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.082992°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14268 KachelY 18395 -2.45762897 1.36280530 -140.811768 78.082992
    Oben rechts KachelX + 1 14269 KachelY 18395 -2.45758103 1.36280530 -140.809021 78.082992
    Unten links KachelX 14268 KachelY + 1 18396 -2.45762897 1.36279540 -140.811768 78.082425
    Unten rechts KachelX + 1 14269 KachelY + 1 18396 -2.45758103 1.36279540 -140.809021 78.082425
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36280530-1.36279540) × R
    9.90000000000713e-06 × 6371000     		dl = 63.0729000000454m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36280530-1.36279540) × R
    9.90000000000713e-06 × 6371000     		dr = 63.0729000000454m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45762897--2.45758103) × cos(1.36280530) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.20649464259717 × 6371000     		do = 63.068779021235m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45762897--2.45758103) × cos(1.36279540) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.206504329219589 × 6371000     		du = 63.0717375650554m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36280530)-sin(1.36279540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20649464259717-0.206504329219589)×R²
    abs(-2.45758103--2.45762897)×9.68662241890295e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.68662241890295e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.68662241890295e-06×40589641000000     		ar = 3978.02409446498m²