Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14267 / 2231
↖ ↑ ↗
← N 78.389278°
E133.483887°		 ← 491.74 m → N 78.389278°
E133.505860°		 →
↑
491.78 m
↓
↑
491.78 m
↓
N 78.384855°
E133.483887°		 ← 491.92 m →
241 871 m²		 N 78.384855°
E133.505860°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14267 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2231 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.870819091796875 y=0.136199951171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.870819091796875 × 214)
    floor (0.870819091796875 × 16384)
    floor (14267.5)     		tx = 14267
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136199951171875 × 214)
    floor (0.136199951171875 × 16384)
    floor (2231.5)     		ty = 2231
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14267 / 2231 ti = "14/14267/2231"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14267/2231.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14267 ÷ 214
    14267 ÷ 16384     		x = 0.87078857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2231 ÷ 214
    2231 ÷ 16384     		y = 0.13616943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87078857421875 × 2 - 1) × π
    0.7415771484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.32973332
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13616943359375 × 2 - 1) × π
    0.7276611328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.28601486908124
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32973332} λ = 2.32973332}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28601486908124))-π/2
    2×atan(9.83566307090847)-π/2
    2×1.4694736651243-π/2
    2.93894733024861-1.57079632675     		φ = 1.36815100
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32973332} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.483887°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36815100 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.389278°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14267 KachelY 2231 2.32973332 1.36815100 133.483887 78.389278
    Oben rechts KachelX + 1 14268 KachelY 2231 2.33011682 1.36815100 133.505860 78.389278
    Unten links KachelX 14267 KachelY + 1 2232 2.32973332 1.36807381 133.483887 78.384855
    Unten rechts KachelX + 1 14268 KachelY + 1 2232 2.33011682 1.36807381 133.505860 78.384855
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36815100-1.36807381) × R
    7.71899999998382e-05 × 6371000     		dl = 491.777489998969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36815100-1.36807381) × R
    7.71899999998382e-05 × 6371000     		dr = 491.777489998969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32973332-2.33011682) × cos(1.36815100) × R
    0.000383500000000314 × 0.201261229031351 × 6371000     		do = 491.737233776279m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32973332-2.33011682) × cos(1.36807381) × R
    0.000383500000000314 × 0.201336838939343 × 6371000     		du = 491.921969838863m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36815100)-sin(1.36807381))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201261229031351-0.201336838939343)×R²
    abs(2.33011682-2.32973332)×7.56099079920469e-05×R²
    0.000383500000000314×7.56099079920469e-05×6371000²
    0.000383500000000314×7.56099079920469e-05×40589641000000     		ar = 241870.727203106m²