Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14266 / 2226
↖ ↑ ↗
← N 78.411368°
E133.461914°		 ← 490.80 m → N 78.411368°
E133.483887°		 →
↑
490.89 m
↓
↑
490.89 m
↓
N 78.406954°
E133.461914°		 ← 490.99 m →
240 973 m²		 N 78.406954°
E133.483887°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14266 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2226 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.870758056640625 y=0.135894775390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.870758056640625 × 214)
    floor (0.870758056640625 × 16384)
    floor (14266.5)     		tx = 14266
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135894775390625 × 214)
    floor (0.135894775390625 × 16384)
    floor (2226.5)     		ty = 2226
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14266 / 2226 ti = "14/14266/2226"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14266/2226.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14266 ÷ 214
    14266 ÷ 16384     		x = 0.8707275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2226 ÷ 214
    2226 ÷ 16384     		y = 0.1358642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8707275390625 × 2 - 1) × π
    0.741455078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.32934983
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1358642578125 × 2 - 1) × π
    0.728271484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.28793234506604
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32934983} λ = 2.32934983}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28793234506604))-π/2
    2×atan(9.85454081166482)-π/2
    2×1.46966644080679-π/2
    2.93933288161358-1.57079632675     		φ = 1.36853655
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32934983} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.461914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36853655 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.411368°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14266 KachelY 2226 2.32934983 1.36853655 133.461914 78.411368
    Oben rechts KachelX + 1 14267 KachelY 2226 2.32973332 1.36853655 133.483887 78.411368
    Unten links KachelX 14266 KachelY + 1 2227 2.32934983 1.36845950 133.461914 78.406954
    Unten rechts KachelX + 1 14267 KachelY + 1 2227 2.32973332 1.36845950 133.483887 78.406954
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36853655-1.36845950) × R
    7.70500000000229e-05 × 6371000     		dl = 490.885550000146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36853655-1.36845950) × R
    7.70500000000229e-05 × 6371000     		dr = 490.885550000146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32934983-2.32973332) × cos(1.36853655) × R
    0.000383489999999931 × 0.200883553358858 × 6371000     		do = 490.801668634027m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32934983-2.32973332) × cos(1.36845950) × R
    0.000383489999999931 × 0.200959032108062 × 6371000     		du = 490.986079430414m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36853655)-sin(1.36845950))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200883553358858-0.200959032108062)×R²
    abs(2.32973332-2.32934983)×7.5478749204827e-05×R²
    0.000383489999999931×7.5478749204827e-05×6371000²
    0.000383489999999931×7.5478749204827e-05×40589641000000     		ar = 240972.709465126m²