Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 14266 / 18522
↖ ↑ ↗
← N 78.010748°
W140.817261°		 ← 63.43 m → N 78.010748°
W140.814514°		 →
↑
63.39 m
↓
↑
63.39 m
↓
N 78.010178°
W140.817261°		 ← 63.44 m →
4 021 m²		 N 78.010178°
W140.814514°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14266 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18522 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108844757080078 y=0.141315460205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108844757080078 × 217)
    floor (0.108844757080078 × 131072)
    floor (14266.5)     		tx = 14266
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141315460205078 × 217)
    floor (0.141315460205078 × 131072)
    floor (18522.5)     		ty = 18522
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14266 / 18522 ti = "17/14266/18522"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14266/18522.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14266 ÷ 217
    14266 ÷ 131072     		x = 0.108840942382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18522 ÷ 217
    18522 ÷ 131072     		y = 0.141311645507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108840942382812 × 2 - 1) × π
    -0.782318115234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.45772484
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141311645507812 × 2 - 1) × π
    0.717376708984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.25370539873732
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45772484} λ = -2.45772484}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25370539873732))-π/2
    2×atan(9.52295689448005)-π/2
    2×1.46617037060812-π/2
    2.93234074121623-1.57079632675     		φ = 1.36154441
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45772484} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.817261°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36154441 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.010748°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14266 KachelY 18522 -2.45772484 1.36154441 -140.817261 78.010748
    Oben rechts KachelX + 1 14267 KachelY 18522 -2.45767691 1.36154441 -140.814514 78.010748
    Unten links KachelX 14266 KachelY + 1 18523 -2.45772484 1.36153446 -140.817261 78.010178
    Unten rechts KachelX + 1 14267 KachelY + 1 18523 -2.45767691 1.36153446 -140.814514 78.010178
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36154441-1.36153446) × R
    9.95000000014734e-06 × 6371000     		dl = 63.3914500009387m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36154441-1.36153446) × R
    9.95000000014734e-06 × 6371000     		dr = 63.3914500009387m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45772484--2.45767691) × cos(1.36154441) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.207728193082918 × 6371000     		do = 63.4323027280708m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45772484--2.45767691) × cos(1.36153446) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.20773792602917 × 6371000     		du = 63.4352748002961m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36154441)-sin(1.36153446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207728193082918-0.20773792602917)×R²
    abs(-2.45767691--2.45772484)×9.73294625178367e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.73294625178367e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.73294625178367e-06×40589641000000     		ar = 4021.15984892338m²