Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 14265 / 18361
↖ ↑ ↗
← N 78.102260°
W140.820007°		 ← 62.97 m → N 78.102260°
W140.817261°		 →
↑
62.95 m
↓
↑
62.95 m
↓
N 78.101694°
W140.820007°		 ← 62.97 m →
3 964 m²		 N 78.101694°
W140.817261°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14265 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18361 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108837127685547 y=0.140087127685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108837127685547 × 217)
    floor (0.108837127685547 × 131072)
    floor (14265.5)     		tx = 14265
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140087127685547 × 217)
    floor (0.140087127685547 × 131072)
    floor (18361.5)     		ty = 18361
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14265 / 18361 ti = "17/14265/18361"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14265/18361.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14265 ÷ 217
    14265 ÷ 131072     		x = 0.108833312988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18361 ÷ 217
    18361 ÷ 131072     		y = 0.140083312988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108833312988281 × 2 - 1) × π
    -0.782333374023438 × 3.1415926535     		Λ = -2.45777278
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140083312988281 × 2 - 1) × π
    0.719833374023438 × 3.1415926535     		Φ = 2.26142323957615
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45777278} λ = -2.45777278}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26142323957615))-π/2
    2×atan(9.59673790893937)-π/2
    2×1.46696895855778-π/2
    2.93393791711556-1.57079632675     		φ = 1.36314159
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45777278} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.820007°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36314159 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.102260°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14265 KachelY 18361 -2.45777278 1.36314159 -140.820007 78.102260
    Oben rechts KachelX + 1 14266 KachelY 18361 -2.45772484 1.36314159 -140.817261 78.102260
    Unten links KachelX 14265 KachelY + 1 18362 -2.45777278 1.36313171 -140.820007 78.101694
    Unten rechts KachelX + 1 14266 KachelY + 1 18362 -2.45772484 1.36313171 -140.817261 78.101694
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36314159-1.36313171) × R
    9.87999999990663e-06 × 6371000     		dl = 62.9454799994051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36314159-1.36313171) × R
    9.87999999990663e-06 × 6371000     		dr = 62.9454799994051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45777278--2.45772484) × cos(1.36314159) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.206165588739527 × 6371000     		do = 62.9682775032646m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45777278--2.45772484) × cos(1.36313171) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.20617525647859 × 6371000     		du = 62.9712302796218m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36314159)-sin(1.36313171))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206165588739527-0.20617525647859)×R²
    abs(-2.45772484--2.45777278)×9.66773906221907e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.66773906221907e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.66773906221907e-06×40589641000000     		ar = 3963.66138406759m²