Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14263 / 7279
↖ ↑ ↗
← N 70.203715°
W 23.302002°		 ← 413.74 m → N 70.203715°
W 23.291016°		 →
↑
413.80 m
↓
↑
413.80 m
↓
N 70.199994°
W 23.302002°		 ← 413.82 m →
171 220 m²		 N 70.199994°
W 23.291016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14263 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7279 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435287475585938 y=0.222152709960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435287475585938 × 215)
    floor (0.435287475585938 × 32768)
    floor (14263.5)     		tx = 14263
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222152709960938 × 215)
    floor (0.222152709960938 × 32768)
    floor (7279.5)     		ty = 7279
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14263 / 7279 ti = "15/14263/7279"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14263/7279.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14263 ÷ 215
    14263 ÷ 32768     		x = 0.435272216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7279 ÷ 215
    7279 ÷ 32768     		y = 0.222137451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435272216796875 × 2 - 1) × π
    -0.12945556640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40669666
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.222137451171875 × 2 - 1) × π
    0.55572509765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.74586188416245
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40669666} λ = -0.40669666}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74586188416245))-π/2
    2×atan(5.73083866655649)-π/2
    2×1.39804115230796-π/2
    2.79608230461593-1.57079632675     		φ = 1.22528598
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40669666} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.302002°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22528598 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.203715°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14263 KachelY 7279 -0.40669666 1.22528598 -23.302002 70.203715
    Oben rechts KachelX + 1 14264 KachelY 7279 -0.40650491 1.22528598 -23.291016 70.203715
    Unten links KachelX 14263 KachelY + 1 7280 -0.40669666 1.22522103 -23.302002 70.199994
    Unten rechts KachelX + 1 14264 KachelY + 1 7280 -0.40650491 1.22522103 -23.291016 70.199994
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22528598-1.22522103) × R
    6.49500000000636e-05 × 6371000     		dl = 413.796450000405m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22528598-1.22522103) × R
    6.49500000000636e-05 × 6371000     		dr = 413.796450000405m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40669666--0.40650491) × cos(1.22528598) × R
    0.000191749999999991 × 0.338676908025624 × 6371000     		do = 413.741003912722m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40669666--0.40650491) × cos(1.22522103) × R
    0.000191749999999991 × 0.3387380189437 × 6371000     		du = 413.815659408848m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22528598)-sin(1.22522103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338676908025624-0.3387380189437)×R²
    abs(-0.40650491--0.40669666)×6.1110918076368e-05×R²
    0.000191749999999991×6.1110918076368e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.1110918076368e-05×40589641000000     		ar = 171220.004788475m²