Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14263 / 18359
↖ ↑ ↗
← N 78.103393°
W140.825500°		 ← 62.95 m → N 78.103393°
W140.822754°		 →
↑
63.01 m
↓
↑
63.01 m
↓
N 78.102826°
W140.825500°		 ← 62.95 m →
3 966 m²		 N 78.102826°
W140.822754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14263 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18359 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108821868896484 y=0.140071868896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108821868896484 × 217)
    floor (0.108821868896484 × 131072)
    floor (14263.5)     		tx = 14263
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140071868896484 × 217)
    floor (0.140071868896484 × 131072)
    floor (18359.5)     		ty = 18359
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14263 / 18359 ti = "17/14263/18359"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14263/18359.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14263 ÷ 217
    14263 ÷ 131072     		x = 0.108818054199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18359 ÷ 217
    18359 ÷ 131072     		y = 0.140068054199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108818054199219 × 2 - 1) × π
    -0.782363891601562 × 3.1415926535     		Λ = -2.45786865
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140068054199219 × 2 - 1) × π
    0.719863891601562 × 3.1415926535     		Φ = 2.26151911337539
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45786865} λ = -2.45786865}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26151911337539))-π/2
    2×atan(9.59765802877001)-π/2
    2×1.46697884103333-π/2
    2.93395768206666-1.57079632675     		φ = 1.36316136
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45786865} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.825500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36316136 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.103393°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14263 KachelY 18359 -2.45786865 1.36316136 -140.825500 78.103393
    Oben rechts KachelX + 1 14264 KachelY 18359 -2.45782072 1.36316136 -140.822754 78.103393
    Unten links KachelX 14263 KachelY + 1 18360 -2.45786865 1.36315147 -140.825500 78.102826
    Unten rechts KachelX + 1 14264 KachelY + 1 18360 -2.45782072 1.36315147 -140.822754 78.102826
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36316136-1.36315147) × R
    9.8900000000679e-06 × 6371000     		dl = 63.0091900004326m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36316136-1.36315147) × R
    9.8900000000679e-06 × 6371000     		dr = 63.0091900004326m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45786865--2.45782072) × cos(1.36316136) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.206146243415817 × 6371000     		do = 62.9492353663667m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45786865--2.45782072) × cos(1.36315147) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.20615592098034 × 6371000     		du = 62.9521905271148m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36316136)-sin(1.36315147))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206146243415817-0.20615592098034)×R²
    abs(-2.45782072--2.45786865)×9.67756452283086e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.67756452283086e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.67756452283086e-06×40589641000000     		ar = 3966.47343285808m²