Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14262 / 7282
↖ ↑ ↗
← N 70.192550°
W 23.312988°		 ← 413.94 m → N 70.192550°
W 23.302002°		 →
↑
413.99 m
↓
↑
413.99 m
↓
N 70.188826°
W 23.312988°		 ← 414.02 m →
171 383 m²		 N 70.188826°
W 23.302002°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14262 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7282 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435256958007812 y=0.222244262695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435256958007812 × 215)
    floor (0.435256958007812 × 32768)
    floor (14262.5)     		tx = 14262
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222244262695312 × 215)
    floor (0.222244262695312 × 32768)
    floor (7282.5)     		ty = 7282
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14262 / 7282 ti = "15/14262/7282"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14262/7282.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14262 ÷ 215
    14262 ÷ 32768     		x = 0.43524169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7282 ÷ 215
    7282 ÷ 32768     		y = 0.22222900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43524169921875 × 2 - 1) × π
    -0.1295166015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40688840
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22222900390625 × 2 - 1) × π
    0.5555419921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.745286641367
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40688840} λ = -0.40688840}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.745286641367))-π/2
    2×atan(5.72754299089944)-π/2
    2×1.39794371521591-π/2
    2.79588743043183-1.57079632675     		φ = 1.22509110
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40688840} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.312988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22509110 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.192550°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14262 KachelY 7282 -0.40688840 1.22509110 -23.312988 70.192550
    Oben rechts KachelX + 1 14263 KachelY 7282 -0.40669666 1.22509110 -23.302002 70.192550
    Unten links KachelX 14262 KachelY + 1 7283 -0.40688840 1.22502612 -23.312988 70.188826
    Unten rechts KachelX + 1 14263 KachelY + 1 7283 -0.40669666 1.22502612 -23.302002 70.188826
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22509110-1.22502612) × R
    6.49799999998812e-05 × 6371000     		dl = 413.987579999243m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22509110-1.22502612) × R
    6.49799999998812e-05 × 6371000     		dr = 413.987579999243m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40688840--0.40669666) × cos(1.22509110) × R
    0.000191739999999996 × 0.338860264717795 × 6371000     		do = 413.943410857175m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40688840--0.40669666) × cos(1.22502612) × R
    0.000191739999999996 × 0.338921399571977 × 6371000     		du = 414.018091699685m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22509110)-sin(1.22502612))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338860264717795-0.338921399571977)×R²
    abs(-0.40669666--0.40688840)×6.11348541818546e-05×R²
    0.000191739999999996×6.11348541818546e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.11348541818546e-05×40589641000000     		ar = 171382.889448223m²