Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14262 / 18462
↖ ↑ ↗
← N 78.044933°
W140.828247°		 ← 63.27 m → N 78.044933°
W140.825500°		 →
↑
63.26 m
↓
↑
63.26 m
↓
N 78.044364°
W140.828247°		 ← 63.27 m →
4 003 m²		 N 78.044364°
W140.825500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14262 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18462 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108814239501953 y=0.140857696533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108814239501953 × 217)
    floor (0.108814239501953 × 131072)
    floor (14262.5)     		tx = 14262
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140857696533203 × 217)
    floor (0.140857696533203 × 131072)
    floor (18462.5)     		ty = 18462
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14262 / 18462 ti = "17/14262/18462"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14262/18462.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14262 ÷ 217
    14262 ÷ 131072     		x = 0.108810424804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18462 ÷ 217
    18462 ÷ 131072     		y = 0.140853881835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108810424804688 × 2 - 1) × π
    -0.782379150390625 × 3.1415926535     		Λ = -2.45791659
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140853881835938 × 2 - 1) × π
    0.718292236328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.25658161271452
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45791659} λ = -2.45791659}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25658161271452))-π/2
    2×atan(9.55038638383514)-π/2
    2×1.46646868610215-π/2
    2.9329373722043-1.57079632675     		φ = 1.36214105
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45791659} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.828247°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36214105 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.044933°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14262 KachelY 18462 -2.45791659 1.36214105 -140.828247 78.044933
    Oben rechts KachelX + 1 14263 KachelY 18462 -2.45786865 1.36214105 -140.825500 78.044933
    Unten links KachelX 14262 KachelY + 1 18463 -2.45791659 1.36213112 -140.828247 78.044364
    Unten rechts KachelX + 1 14263 KachelY + 1 18463 -2.45786865 1.36213112 -140.825500 78.044364
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36214105-1.36213112) × R
    9.93000000004685e-06 × 6371000     		dl = 63.2640300002985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36214105-1.36213112) × R
    9.93000000004685e-06 × 6371000     		dr = 63.2640300002985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45791659--2.45786865) × cos(1.36214105) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.207144530899173 × 6371000     		do = 63.2672716367914m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45791659--2.45786865) × cos(1.36213112) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.207154245510748 × 6371000     		du = 63.2702387292205m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36214105)-sin(1.36213112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207144530899173-0.207154245510748)×R²
    abs(-2.45786865--2.45791659)×9.71461157484033e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.71461157484033e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.71461157484033e-06×40589641000000     		ar = 4002.63642605895m²