Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14262 / 10281
↖ ↑ ↗
← N 76.789445°
W101.656494°		 ← 139.60 m → N 76.789445°
W101.651001°		 →
↑
139.59 m
↓
↑
139.59 m
↓
N 76.788190°
W101.656494°		 ← 139.61 m →
19 487 m²		 N 76.788190°
W101.651001°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14262 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10281 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.217628479003906 y=0.156883239746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.217628479003906 × 216)
    floor (0.217628479003906 × 65536)
    floor (14262.5)     		tx = 14262
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156883239746094 × 216)
    floor (0.156883239746094 × 65536)
    floor (10281.5)     		ty = 10281
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14262 / 10281 ti = "16/14262/10281"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14262/10281.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14262 ÷ 216
    14262 ÷ 65536     		x = 0.217620849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10281 ÷ 216
    10281 ÷ 65536     		y = 0.156875610351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.217620849609375 × 2 - 1) × π
    -0.56475830078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.77424053
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156875610351562 × 2 - 1) × π
    0.686248779296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.15591412351241
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.77424053} λ = -1.77424053}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15591412351241))-π/2
    2×atan(8.63578074216901)-π/2
    2×1.45551248872082-π/2
    2.91102497744164-1.57079632675     		φ = 1.34022865
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.77424053} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.656494°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34022865 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.789445°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14262 KachelY 10281 -1.77424053 1.34022865 -101.656494 76.789445
    Oben rechts KachelX + 1 14263 KachelY 10281 -1.77414465 1.34022865 -101.651001 76.789445
    Unten links KachelX 14262 KachelY + 1 10282 -1.77424053 1.34020674 -101.656494 76.788190
    Unten rechts KachelX + 1 14263 KachelY + 1 10282 -1.77414465 1.34020674 -101.651001 76.788190
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34022865-1.34020674) × R
    2.19100000000694e-05 × 6371000     		dl = 139.588610000442m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34022865-1.34020674) × R
    2.19100000000694e-05 × 6371000     		dr = 139.588610000442m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.77424053--1.77414465) × cos(1.34022865) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.228530214590248 × 6371000     		do = 139.598019807079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.77424053--1.77414465) × cos(1.34020674) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.228551544727132 × 6371000     		du = 139.611049352763m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34022865)-sin(1.34020674))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.228530214590248-0.228551544727132)×R²
    abs(-1.77414465--1.77424053)×2.13301368844621e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.13301368844621e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.13301368844621e-05×40589641000000     		ar = 19487.202932578m²