Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14261 / 2233
↖ ↑ ↗
← N 78.380430°
E133.352051°		 ← 492.11 m → N 78.380430°
E133.374024°		 →
↑
492.22 m
↓
↑
492.22 m
↓
N 78.376004°
E133.352051°		 ← 492.29 m →
242 272 m²		 N 78.376004°
E133.374024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14261 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2233 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.870452880859375 y=0.136322021484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.870452880859375 × 214)
    floor (0.870452880859375 × 16384)
    floor (14261.5)     		tx = 14261
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136322021484375 × 214)
    floor (0.136322021484375 × 16384)
    floor (2233.5)     		ty = 2233
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14261 / 2233 ti = "14/14261/2233"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14261/2233.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14261 ÷ 214
    14261 ÷ 16384     		x = 0.87042236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2233 ÷ 214
    2233 ÷ 16384     		y = 0.13629150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87042236328125 × 2 - 1) × π
    0.7408447265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.32743235
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13629150390625 × 2 - 1) × π
    0.7274169921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.28524787868732
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32743235} λ = 2.32743235}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28524787868732))-π/2
    2×atan(9.82812210410947)-π/2
    2×1.46939645341045-π/2
    2.9387929068209-1.57079632675     		φ = 1.36799658
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32743235} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.352051°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36799658 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.380430°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14261 KachelY 2233 2.32743235 1.36799658 133.352051 78.380430
    Oben rechts KachelX + 1 14262 KachelY 2233 2.32781585 1.36799658 133.374024 78.380430
    Unten links KachelX 14261 KachelY + 1 2234 2.32743235 1.36791932 133.352051 78.376004
    Unten rechts KachelX + 1 14262 KachelY + 1 2234 2.32781585 1.36791932 133.374024 78.376004
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36799658-1.36791932) × R
    7.72600000000789e-05 × 6371000     		dl = 492.223460000503m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36799658-1.36791932) × R
    7.72600000000789e-05 × 6371000     		dr = 492.223460000503m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32743235-2.32781585) × cos(1.36799658) × R
    0.00038349999999987 × 0.201412486827972 × 6371000     		do = 492.10679869815m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32743235-2.32781585) × cos(1.36791932) × R
    0.00038349999999987 × 0.201488162900009 × 6371000     		du = 492.291696417924m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36799658)-sin(1.36791932))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201412486827972-0.201488162900009)×R²
    abs(2.32781585-2.32743235)×7.56760720377614e-05×R²
    0.00038349999999987×7.56760720377614e-05×6371000²
    0.00038349999999987×7.56760720377614e-05×40589641000000     		ar = 242272.016762021m²