Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1426 / 2971
↖ ↑ ↗
← S 62.714462°
W 54.667969°		 ← 4 480.18 m → S 62.714462°
W 54.580078°		 →
↑
4 477.16 m
↓
↑
4 477.16 m
↓
S 62.754726°
W 54.667969°		 ← 4 474.08 m →
20 044 819 m²		 S 62.754726°
W 54.580078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1426 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2971 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3482666015625 y=0.7254638671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3482666015625 × 212)
    floor (0.3482666015625 × 4096)
    floor (1426.5)     		tx = 1426
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7254638671875 × 212)
    floor (0.7254638671875 × 4096)
    floor (2971.5)     		ty = 2971
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1426 / 2971 ti = "12/1426/2971"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1426/2971.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1426 ÷ 212
    1426 ÷ 4096     		x = 0.34814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2971 ÷ 212
    2971 ÷ 4096     		y = 0.725341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34814453125 × 2 - 1) × π
    -0.3037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.95413605
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.725341796875 × 2 - 1) × π
    -0.45068359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.41586426717798
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95413605} λ = -0.95413605}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41586426717798))-π/2
    2×atan(0.242715751515802)-π/2
    2×0.238111237262555-π/2
    0.476222474525111-1.57079632675     		φ = -1.09457385
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95413605} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.667969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09457385 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.714462°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1426 KachelY 2971 -0.95413605 -1.09457385 -54.667969 -62.714462
    Oben rechts KachelX + 1 1427 KachelY 2971 -0.95260207 -1.09457385 -54.580078 -62.714462
    Unten links KachelX 1426 KachelY + 1 2972 -0.95413605 -1.09527659 -54.667969 -62.754726
    Unten rechts KachelX + 1 1427 KachelY + 1 2972 -0.95260207 -1.09527659 -54.580078 -62.754726
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09457385--1.09527659) × R
    0.000702740000000146 × 6371000     		dl = 4477.15654000093m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09457385--1.09527659) × R
    0.000702740000000146 × 6371000     		dr = 4477.15654000093m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95413605--0.95260207) × cos(-1.09457385) × R
    0.00153398000000005 × 0.458425244889664 × 6371000     		do = 4480.18376624003m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95413605--0.95260207) × cos(-1.09527659) × R
    0.00153398000000005 × 0.45780058353743 × 6371000     		du = 4474.07895922761m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09457385)-sin(-1.09527659))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.458425244889664-0.45780058353743)×R²
    abs(-0.95260207--0.95413605)×0.000624661352233657×R²
    0.00153398000000005×0.000624661352233657×6371000²
    0.00153398000000005×0.000624661352233657×40589641000000     		ar = 20044818.7860275m²