Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14259 / 2234
↖ ↑ ↗
← N 78.376004°
E133.308105°		 ← 492.29 m → N 78.376004°
E133.330078°		 →
↑
492.35 m
↓
↑
492.35 m
↓
N 78.371576°
E133.308105°		 ← 492.48 m →
242 426 m²		 N 78.371576°
E133.330078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14259 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2234 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.870330810546875 y=0.136383056640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.870330810546875 × 214)
    floor (0.870330810546875 × 16384)
    floor (14259.5)     		tx = 14259
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136383056640625 × 214)
    floor (0.136383056640625 × 16384)
    floor (2234.5)     		ty = 2234
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14259 / 2234 ti = "14/14259/2234"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14259/2234.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14259 ÷ 214
    14259 ÷ 16384     		x = 0.87030029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2234 ÷ 214
    2234 ÷ 16384     		y = 0.1363525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87030029296875 × 2 - 1) × π
    0.7406005859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.32666536
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1363525390625 × 2 - 1) × π
    0.727294921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.28486438349036
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32666536} λ = 2.32666536}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28486438349036))-π/2
    2×atan(9.82435378909894)-π/2
    2×1.46935782579533-π/2
    2.93871565159066-1.57079632675     		φ = 1.36791932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32666536} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.308105°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36791932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.376004°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14259 KachelY 2234 2.32666536 1.36791932 133.308105 78.376004
    Oben rechts KachelX + 1 14260 KachelY 2234 2.32704886 1.36791932 133.330078 78.376004
    Unten links KachelX 14259 KachelY + 1 2235 2.32666536 1.36784204 133.308105 78.371576
    Unten rechts KachelX + 1 14260 KachelY + 1 2235 2.32704886 1.36784204 133.330078 78.371576
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36791932-1.36784204) × R
    7.72799999999574e-05 × 6371000     		dl = 492.350879999728m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36791932-1.36784204) × R
    7.72799999999574e-05 × 6371000     		dr = 492.350879999728m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32666536-2.32704886) × cos(1.36791932) × R
    0.000383500000000314 × 0.201488162900009 × 6371000     		do = 492.291696418494m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32666536-2.32704886) × cos(1.36784204) × R
    0.000383500000000314 × 0.20156385735885 × 6371000     		du = 492.476639062349m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36791932)-sin(1.36784204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201488162900009-0.20156385735885)×R²
    abs(2.32704886-2.32666536)×7.56944588406472e-05×R²
    0.000383500000000314×7.56944588406472e-05×6371000²
    0.000383500000000314×7.56944588406472e-05×40589641000000     		ar = 242425.778405931m²