Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14259 / 2232
↖ ↑ ↗
← N 78.384855°
E133.308105°		 ← 491.92 m → N 78.384855°
E133.330078°		 →
↑
492.03 m
↓
↑
492.03 m
↓
N 78.380430°
E133.308105°		 ← 492.11 m →
242 087 m²		 N 78.380430°
E133.330078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14259 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.870330810546875 y=0.136260986328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.870330810546875 × 214)
    floor (0.870330810546875 × 16384)
    floor (14259.5)     		tx = 14259
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136260986328125 × 214)
    floor (0.136260986328125 × 16384)
    floor (2232.5)     		ty = 2232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14259 / 2232 ti = "14/14259/2232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14259/2232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14259 ÷ 214
    14259 ÷ 16384     		x = 0.87030029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2232 ÷ 214
    2232 ÷ 16384     		y = 0.13623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87030029296875 × 2 - 1) × π
    0.7406005859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.32666536
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13623046875 × 2 - 1) × π
    0.7275390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.28563137388428
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32666536} λ = 2.32666536}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28563137388428))-π/2
    2×atan(9.83189186452784)-π/2
    2×1.46943506651837-π/2
    2.93887013303673-1.57079632675     		φ = 1.36807381
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32666536} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.308105°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36807381 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.384855°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14259 KachelY 2232 2.32666536 1.36807381 133.308105 78.384855
    Oben rechts KachelX + 1 14260 KachelY 2232 2.32704886 1.36807381 133.330078 78.384855
    Unten links KachelX 14259 KachelY + 1 2233 2.32666536 1.36799658 133.308105 78.380430
    Unten rechts KachelX + 1 14260 KachelY + 1 2233 2.32704886 1.36799658 133.330078 78.380430
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36807381-1.36799658) × R
    7.72300000000392e-05 × 6371000     		dl = 492.03233000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36807381-1.36799658) × R
    7.72300000000392e-05 × 6371000     		dr = 492.03233000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32666536-2.32704886) × cos(1.36807381) × R
    0.000383500000000314 × 0.201336838939343 × 6371000     		do = 491.921969838863m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32666536-2.32704886) × cos(1.36799658) × R
    0.000383500000000314 × 0.201412486827972 × 6371000     		du = 492.10679869872m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36807381)-sin(1.36799658))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201336838939343-0.201412486827972)×R²
    abs(2.32704886-2.32666536)×7.56478886284329e-05×R²
    0.000383500000000314×7.56478886284329e-05×6371000²
    0.000383500000000314×7.56478886284329e-05×40589641000000     		ar = 242086.984006785m²