Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14259 / 18291
↖ ↑ ↗
← N 78.141832°
W140.836487°		 ← 62.76 m → N 78.141832°
W140.833740°		 →
↑
62.75 m
↓
↑
62.75 m
↓
N 78.141268°
W140.836487°		 ← 62.76 m →
3 939 m²		 N 78.141268°
W140.833740°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14259 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18291 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108791351318359 y=0.139553070068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108791351318359 × 217)
    floor (0.108791351318359 × 131072)
    floor (14259.5)     		tx = 14259
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139553070068359 × 217)
    floor (0.139553070068359 × 131072)
    floor (18291.5)     		ty = 18291
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14259 / 18291 ti = "17/14259/18291"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14259/18291.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14259 ÷ 217
    14259 ÷ 131072     		x = 0.108787536621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18291 ÷ 217
    18291 ÷ 131072     		y = 0.139549255371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108787536621094 × 2 - 1) × π
    -0.782424926757812 × 3.1415926535     		Λ = -2.45806040
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139549255371094 × 2 - 1) × π
    0.720901489257812 × 3.1415926535     		Φ = 2.26477882254955
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45806040} λ = -2.45806040}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26477882254955))-π/2
    2×atan(9.62899464908344)-π/2
    2×1.46731429413521-π/2
    2.93462858827043-1.57079632675     		φ = 1.36383226
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45806040} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.836487°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36383226 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.141832°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14259 KachelY 18291 -2.45806040 1.36383226 -140.836487 78.141832
    Oben rechts KachelX + 1 14260 KachelY 18291 -2.45801246 1.36383226 -140.833740 78.141832
    Unten links KachelX 14259 KachelY + 1 18292 -2.45806040 1.36382241 -140.836487 78.141268
    Unten rechts KachelX + 1 14260 KachelY + 1 18292 -2.45801246 1.36382241 -140.833740 78.141268
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36383226-1.36382241) × R
    9.84999999986691e-06 × 6371000     		dl = 62.7543499991521m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36383226-1.36382241) × R
    9.84999999986691e-06 × 6371000     		dr = 62.7543499991521m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45806040--2.45801246) × cos(1.36383226) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.205489707202367 × 6371000     		do = 62.7618458846252m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45806040--2.45801246) × cos(1.36382241) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.205499346986276 × 6371000     		du = 62.7647901227589m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36383226)-sin(1.36382241))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205489707202367-0.205499346986276)×R²
    abs(-2.45801246--2.45806040)×9.63978390847164e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.63978390847164e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.63978390847164e-06×40589641000000     		ar = 3938.67122510479m²