Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14259 / 10598
↖ ↑ ↗
← N 53.501117°
W 23.345947°		 ← 726.64 m → N 53.501117°
W 23.334961°		 →
↑
726.74 m
↓
↑
726.74 m
↓
N 53.494582°
W 23.345947°		 ← 726.75 m →
528 119 m²		 N 53.494582°
W 23.334961°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14259 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10598 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435165405273438 y=0.323440551757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435165405273438 × 215)
    floor (0.435165405273438 × 32768)
    floor (14259.5)     		tx = 14259
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323440551757812 × 215)
    floor (0.323440551757812 × 32768)
    floor (10598.5)     		ty = 10598
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14259 / 10598 ti = "15/14259/10598"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14259/10598.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14259 ÷ 215
    14259 ÷ 32768     		x = 0.435150146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10598 ÷ 215
    10598 ÷ 32768     		y = 0.32342529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435150146484375 × 2 - 1) × π
    -0.12969970703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.40746365
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32342529296875 × 2 - 1) × π
    0.3531494140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.10945160480658
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40746365} λ = -0.40746365}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10945160480658))-π/2
    2×atan(3.03269482306602)-π/2
    2×1.25228348633512-π/2
    2.50456697267025-1.57079632675     		φ = 0.93377065
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40746365} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.345947°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93377065 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.501117°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14259 KachelY 10598 -0.40746365 0.93377065 -23.345947 53.501117
    Oben rechts KachelX + 1 14260 KachelY 10598 -0.40727190 0.93377065 -23.334961 53.501117
    Unten links KachelX 14259 KachelY + 1 10599 -0.40746365 0.93365658 -23.345947 53.494582
    Unten rechts KachelX + 1 14260 KachelY + 1 10599 -0.40727190 0.93365658 -23.334961 53.494582
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93377065-0.93365658) × R
    0.000114070000000077 × 6371000     		dl = 726.739970000492m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93377065-0.93365658) × R
    0.000114070000000077 × 6371000     		dr = 726.739970000492m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40746365--0.40727190) × cos(0.93377065) × R
    0.000191749999999991 × 0.594807111282335 × 6371000     		do = 726.639713321582m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40746365--0.40727190) × cos(0.93365658) × R
    0.000191749999999991 × 0.59489880468752 × 6371000     		du = 726.751729584322m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93377065)-sin(0.93365658))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.594807111282335-0.59489880468752)×R²
    abs(-0.40727190--0.40746365)×9.16934051851115e-05×R²
    0.000191749999999991×9.16934051851115e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.16934051851115e-05×40589641000000     		ar = 528118.827380384m²