Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14258 / 7442
↖ ↑ ↗
← N 69.588228°
W 23.356933°		 ← 426.04 m → N 69.588228°
W 23.345947°		 →
↑
426.09 m
↓
↑
426.09 m
↓
N 69.584396°
W 23.356933°		 ← 426.12 m →
181 550 m²		 N 69.584396°
W 23.345947°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14258 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7442 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435134887695312 y=0.227127075195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435134887695312 × 215)
    floor (0.435134887695312 × 32768)
    floor (14258.5)     		tx = 14258
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227127075195312 × 215)
    floor (0.227127075195312 × 32768)
    floor (7442.5)     		ty = 7442
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14258 / 7442 ti = "15/14258/7442"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14258/7442.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14258 ÷ 215
    14258 ÷ 32768     		x = 0.43511962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7442 ÷ 215
    7442 ÷ 32768     		y = 0.22711181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43511962890625 × 2 - 1) × π
    -0.1297607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40765539
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22711181640625 × 2 - 1) × π
    0.5457763671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.71460702561017
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40765539} λ = -0.40765539}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71460702561017))-π/2
    2×atan(5.55449231019182)-π/2
    2×1.39267001435112-π/2
    2.78534002870224-1.57079632675     		φ = 1.21454370
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40765539} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.356933°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21454370 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.588228°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14258 KachelY 7442 -0.40765539 1.21454370 -23.356933 69.588228
    Oben rechts KachelX + 1 14259 KachelY 7442 -0.40746365 1.21454370 -23.345947 69.588228
    Unten links KachelX 14258 KachelY + 1 7443 -0.40765539 1.21447682 -23.356933 69.584396
    Unten rechts KachelX + 1 14259 KachelY + 1 7443 -0.40746365 1.21447682 -23.345947 69.584396
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21454370-1.21447682) × R
    6.68799999998804e-05 × 6371000     		dl = 426.092479999238m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21454370-1.21447682) × R
    6.68799999998804e-05 × 6371000     		dr = 426.092479999238m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40765539--0.40746365) × cos(1.21454370) × R
    0.000191739999999996 × 0.348764613347221 × 6371000     		do = 426.042320882514m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40765539--0.40746365) × cos(1.21447682) × R
    0.000191739999999996 × 0.348827293195536 × 6371000     		du = 426.118889052066m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21454370)-sin(1.21447682))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348764613347221-0.348827293195536)×R²
    abs(-0.40746365--0.40765539)×6.26798483149837e-05×R²
    0.000191739999999996×6.26798483149837e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.26798483149837e-05×40589641000000     		ar = 181549.741718454m²