Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14258 / 2238
↖ ↑ ↗
← N 78.358282°
E133.286133°		 ← 493.03 m → N 78.358282°
E133.308105°		 →
↑
493.12 m
↓
↑
493.12 m
↓
N 78.353847°
E133.286133°		 ← 493.22 m →
243 167 m²		 N 78.353847°
E133.308105°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14258 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2238 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.870269775390625 y=0.136627197265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.870269775390625 × 214)
    floor (0.870269775390625 × 16384)
    floor (14258.5)     		tx = 14258
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136627197265625 × 214)
    floor (0.136627197265625 × 16384)
    floor (2238.5)     		ty = 2238
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14258 / 2238 ti = "14/14258/2238"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14258/2238.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14258 ÷ 214
    14258 ÷ 16384     		x = 0.8702392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2238 ÷ 214
    2238 ÷ 16384     		y = 0.1365966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8702392578125 × 2 - 1) × π
    0.740478515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.32628186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1365966796875 × 2 - 1) × π
    0.726806640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.28333040270251
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32628186} λ = 2.32628186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28333040270251))-π/2
    2×atan(9.80929497205443)-π/2
    2×1.46920317015844-π/2
    2.93840634031688-1.57079632675     		φ = 1.36761001
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32628186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.286133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36761001 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.358282°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14258 KachelY 2238 2.32628186 1.36761001 133.286133 78.358282
    Oben rechts KachelX + 1 14259 KachelY 2238 2.32666536 1.36761001 133.308105 78.358282
    Unten links KachelX 14258 KachelY + 1 2239 2.32628186 1.36753261 133.286133 78.353847
    Unten rechts KachelX + 1 14259 KachelY + 1 2239 2.32666536 1.36753261 133.308105 78.353847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36761001-1.36753261) × R
    7.73999999998942e-05 × 6371000     		dl = 493.115399999326m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36761001-1.36753261) × R
    7.73999999998942e-05 × 6371000     		dr = 493.115399999326m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32628186-2.32666536) × cos(1.36761001) × R
    0.00038349999999987 × 0.201791119602322 × 6371000     		do = 493.031904015114m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32628186-2.32666536) × cos(1.36753261) × R
    0.00038349999999987 × 0.201866926769926 × 6371000     		du = 493.217122037867m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36761001)-sin(1.36753261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201791119602322-0.201866926769926)×R²
    abs(2.32666536-2.32628186)×7.5807167603914e-05×R²
    0.00038349999999987×7.5807167603914e-05×6371000²
    0.00038349999999987×7.5807167603914e-05×40589641000000     		ar = 243167.291612904m²