Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14258 / 18363
↖ ↑ ↗
← N 78.101127°
W140.839233°		 ← 62.97 m → N 78.101127°
W140.836487°		 →
↑
62.95 m
↓
↑
62.95 m
↓
N 78.100561°
W140.839233°		 ← 62.98 m →
3 964 m²		 N 78.100561°
W140.836487°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14258 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18363 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108783721923828 y=0.140102386474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108783721923828 × 217)
    floor (0.108783721923828 × 131072)
    floor (14258.5)     		tx = 14258
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140102386474609 × 217)
    floor (0.140102386474609 × 131072)
    floor (18363.5)     		ty = 18363
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14258 / 18363 ti = "17/14258/18363"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14258/18363.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14258 ÷ 217
    14258 ÷ 131072     		x = 0.108779907226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18363 ÷ 217
    18363 ÷ 131072     		y = 0.140098571777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108779907226562 × 2 - 1) × π
    -0.782440185546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.45810834
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140098571777344 × 2 - 1) × π
    0.719802856445312 × 3.1415926535     		Φ = 2.26132736577691
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45810834} λ = -2.45810834}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26132736577691))-π/2
    2×atan(9.5958178773199)-π/2
    2×1.46695907515507-π/2
    2.93391815031013-1.57079632675     		φ = 1.36312182
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45810834} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.839233°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36312182 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.101127°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14258 KachelY 18363 -2.45810834 1.36312182 -140.839233 78.101127
    Oben rechts KachelX + 1 14259 KachelY 18363 -2.45806040 1.36312182 -140.836487 78.101127
    Unten links KachelX 14258 KachelY + 1 18364 -2.45810834 1.36311194 -140.839233 78.100561
    Unten rechts KachelX + 1 14259 KachelY + 1 18364 -2.45806040 1.36311194 -140.836487 78.100561
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36312182-1.36311194) × R
    9.87999999990663e-06 × 6371000     		dl = 62.9454799994051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36312182-1.36311194) × R
    9.87999999990663e-06 × 6371000     		dr = 62.9454799994051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45810834--2.45806040) × cos(1.36312182) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.206184933982657 × 6371000     		do = 62.9741860384628m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45810834--2.45806040) × cos(1.36311194) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.206194601681446 × 6371000     		du = 62.9771388025197m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36312182)-sin(1.36311194))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206184933982657-0.206194601681446)×R²
    abs(-2.45806040--2.45810834)×9.66769878957274e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.66769878957274e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.66769878957274e-06×40589641000000     		ar = 3964.03329943142m²