Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14258 / 10599
↖ ↑ ↗
← N 53.494582°
W 23.356933°		 ← 726.71 m → N 53.494582°
W 23.345947°		 →
↑
726.74 m
↓
↑
726.74 m
↓
N 53.488046°
W 23.356933°		 ← 726.83 m →
528 173 m²		 N 53.488046°
W 23.345947°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14258 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10599 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435134887695312 y=0.323471069335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435134887695312 × 215)
    floor (0.435134887695312 × 32768)
    floor (14258.5)     		tx = 14258
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323471069335938 × 215)
    floor (0.323471069335938 × 32768)
    floor (10599.5)     		ty = 10599
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14258 / 10599 ti = "15/14258/10599"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14258/10599.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14258 ÷ 215
    14258 ÷ 32768     		x = 0.43511962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10599 ÷ 215
    10599 ÷ 32768     		y = 0.323455810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43511962890625 × 2 - 1) × π
    -0.1297607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40765539
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323455810546875 × 2 - 1) × π
    0.35308837890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.1092598572081
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40765539} λ = -0.40765539}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1092598572081))-π/2
    2×atan(3.03211336686497)-π/2
    2×1.25222645552211-π/2
    2.50445291104421-1.57079632675     		φ = 0.93365658
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40765539} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.356933°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93365658 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.494582°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14258 KachelY 10599 -0.40765539 0.93365658 -23.356933 53.494582
    Oben rechts KachelX + 1 14259 KachelY 10599 -0.40746365 0.93365658 -23.345947 53.494582
    Unten links KachelX 14258 KachelY + 1 10600 -0.40765539 0.93354251 -23.356933 53.488046
    Unten rechts KachelX + 1 14259 KachelY + 1 10600 -0.40746365 0.93354251 -23.345947 53.488046
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93365658-0.93354251) × R
    0.000114069999999966 × 6371000     		dl = 726.739969999784m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93365658-0.93354251) × R
    0.000114069999999966 × 6371000     		dr = 726.739969999784m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40765539--0.40746365) × cos(0.93365658) × R
    0.000191739999999996 × 0.59489880468752 × 6371000     		do = 726.713828581495m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40765539--0.40746365) × cos(0.93354251) × R
    0.000191739999999996 × 0.594990490351902 × 6371000     		du = 726.825829546474m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93365658)-sin(0.93354251))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.59489880468752-0.594990490351902)×R²
    abs(-0.40746365--0.40765539)×9.1685664382779e-05×R²
    0.000191739999999996×9.1685664382779e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.1685664382779e-05×40589641000000     		ar = 528172.684343994m²