Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14257 / 9905
↖ ↑ ↗
← N 77.253267°
W101.683960°		 ← 134.78 m → N 77.253267°
W101.678467°		 →
↑
134.75 m
↓
↑
134.75 m
↓
N 77.252055°
W101.683960°		 ← 134.79 m →
18 162 m²		 N 77.252055°
W101.678467°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14257 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9905 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.217552185058594 y=0.151145935058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.217552185058594 × 216)
    floor (0.217552185058594 × 65536)
    floor (14257.5)     		tx = 14257
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151145935058594 × 216)
    floor (0.151145935058594 × 65536)
    floor (9905.5)     		ty = 9905
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14257 / 9905 ti = "16/14257/9905"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14257/9905.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14257 ÷ 216
    14257 ÷ 65536     		x = 0.217544555664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9905 ÷ 216
    9905 ÷ 65536     		y = 0.151138305664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.217544555664062 × 2 - 1) × π
    -0.564910888671875 × 3.1415926535     		Λ = -1.77471990
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151138305664062 × 2 - 1) × π
    0.697723388671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.19196267202669
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.77471990} λ = -1.77471990}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19196267202669))-π/2
    2×atan(8.95276722838041)-π/2
    2×1.45956009463338-π/2
    2.91912018926676-1.57079632675     		φ = 1.34832386
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.77471990} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.683960°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34832386 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.253267°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14257 KachelY 9905 -1.77471990 1.34832386 -101.683960 77.253267
    Oben rechts KachelX + 1 14258 KachelY 9905 -1.77462402 1.34832386 -101.678467 77.253267
    Unten links KachelX 14257 KachelY + 1 9906 -1.77471990 1.34830271 -101.683960 77.252055
    Unten rechts KachelX + 1 14258 KachelY + 1 9906 -1.77462402 1.34830271 -101.678467 77.252055
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34832386-1.34830271) × R
    2.11500000000253e-05 × 6371000     		dl = 134.746650000161m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34832386-1.34830271) × R
    2.11500000000253e-05 × 6371000     		dr = 134.746650000161m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.77471990--1.77462402) × cos(1.34832386) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.220641827632663 × 6371000     		do = 134.779386959229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.77471990--1.77462402) × cos(1.34830271) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.22066245633948 × 6371000     		du = 134.791988035318m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34832386)-sin(1.34830271))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220641827632663-0.22066245633948)×R²
    abs(-1.77462402--1.77471990)×2.0628706816378e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.0628706816378e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.0628706816378e-05×40589641000000     		ar = 18161.9198589559m²