Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14257 / 2225
↖ ↑ ↗
← N 78.415782°
E133.264160°		 ← 490.62 m → N 78.415782°
E133.286133°		 →
↑
490.76 m
↓
↑
490.76 m
↓
N 78.411368°
E133.264160°		 ← 490.80 m →
240 820 m²		 N 78.411368°
E133.286133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14257 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2225 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.870208740234375 y=0.135833740234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.870208740234375 × 214)
    floor (0.870208740234375 × 16384)
    floor (14257.5)     		tx = 14257
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135833740234375 × 214)
    floor (0.135833740234375 × 16384)
    floor (2225.5)     		ty = 2225
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14257 / 2225 ti = "14/14257/2225"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14257/2225.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14257 ÷ 214
    14257 ÷ 16384     		x = 0.87017822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2225 ÷ 214
    2225 ÷ 16384     		y = 0.13580322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87017822265625 × 2 - 1) × π
    0.7403564453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.32589837
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13580322265625 × 2 - 1) × π
    0.7283935546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.288315840263
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32589837} λ = 2.32589837}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.288315840263))-π/2
    2×atan(9.85832070547357)-π/2
    2×1.46970495251033-π/2
    2.93940990502067-1.57079632675     		φ = 1.36861358
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32589837} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.264160°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36861358 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.415782°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14257 KachelY 2225 2.32589837 1.36861358 133.264160 78.415782
    Oben rechts KachelX + 1 14258 KachelY 2225 2.32628186 1.36861358 133.286133 78.415782
    Unten links KachelX 14257 KachelY + 1 2226 2.32589837 1.36853655 133.264160 78.411368
    Unten rechts KachelX + 1 14258 KachelY + 1 2226 2.32628186 1.36853655 133.286133 78.411368
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36861358-1.36853655) × R
    7.70300000001445e-05 × 6371000     		dl = 490.758130000921m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36861358-1.36853655) × R
    7.70300000001445e-05 × 6371000     		dr = 490.758130000921m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32589837-2.32628186) × cos(1.36861358) × R
    0.000383489999999931 × 0.200808093009679 × 6371000     		do = 490.617302792854m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32589837-2.32628186) × cos(1.36853655) × R
    0.000383489999999931 × 0.200883553358858 × 6371000     		du = 490.801668634027m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36861358)-sin(1.36853655))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200808093009679-0.200883553358858)×R²
    abs(2.32628186-2.32589837)×7.54603491788242e-05×R²
    0.000383489999999931×7.54603491788242e-05×6371000²
    0.000383489999999931×7.54603491788242e-05×40589641000000     		ar = 240819.669701211m²