Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14255 / 7318
↖ ↑ ↗
← N 70.058092°
W 23.389893°		 ← 416.66 m → N 70.058092°
W 23.378906°		 →
↑
416.66 m
↓
↑
416.66 m
↓
N 70.054345°
W 23.389893°		 ← 416.74 m →
173 623 m²		 N 70.054345°
W 23.378906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14255 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7318 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435043334960938 y=0.223342895507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435043334960938 × 215)
    floor (0.435043334960938 × 32768)
    floor (14255.5)     		tx = 14255
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223342895507812 × 215)
    floor (0.223342895507812 × 32768)
    floor (7318.5)     		ty = 7318
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14255 / 7318 ti = "15/14255/7318"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14255/7318.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14255 ÷ 215
    14255 ÷ 32768     		x = 0.435028076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7318 ÷ 215
    7318 ÷ 32768     		y = 0.22332763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435028076171875 × 2 - 1) × π
    -0.12994384765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40823064
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22332763671875 × 2 - 1) × π
    0.5533447265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.73838372782172
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40823064} λ = -0.40823064}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73838372782172))-π/2
    2×atan(5.68814240268712)-π/2
    2×1.39677034864499-π/2
    2.79354069728997-1.57079632675     		φ = 1.22274437
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40823064} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.389893°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22274437 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.058092°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14255 KachelY 7318 -0.40823064 1.22274437 -23.389893 70.058092
    Oben rechts KachelX + 1 14256 KachelY 7318 -0.40803889 1.22274437 -23.378906 70.058092
    Unten links KachelX 14255 KachelY + 1 7319 -0.40823064 1.22267897 -23.389893 70.054345
    Unten rechts KachelX + 1 14256 KachelY + 1 7319 -0.40803889 1.22267897 -23.378906 70.054345
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22274437-1.22267897) × R
    6.53999999999932e-05 × 6371000     		dl = 416.663399999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22274437-1.22267897) × R
    6.53999999999932e-05 × 6371000     		dr = 416.663399999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40823064--0.40803889) × cos(1.22274437) × R
    0.000191749999999991 × 0.341067219356032 × 6371000     		do = 416.661102053667m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40823064--0.40803889) × cos(1.22267897) × R
    0.000191749999999991 × 0.341128697171287 × 6371000     		du = 416.736205765788m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22274437)-sin(1.22267897))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341067219356032-0.341128697171287)×R²
    abs(-0.40803889--0.40823064)×6.14778152555617e-05×R²
    0.000191749999999991×6.14778152555617e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.14778152555617e-05×40589641000000     		ar = 173623.077975247m²