Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 14252 / 18469
↖ ↑ ↗
← N 78.040949°
W140.855713°		 ← 63.29 m → N 78.040949°
W140.852966°		 →
↑
63.26 m
↓
↑
63.26 m
↓
N 78.040381°
W140.855713°		 ← 63.29 m →
4 004 m²		 N 78.040381°
W140.852966°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14252 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18469 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108737945556641 y=0.140911102294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108737945556641 × 217)
    floor (0.108737945556641 × 131072)
    floor (14252.5)     		tx = 14252
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140911102294922 × 217)
    floor (0.140911102294922 × 131072)
    floor (18469.5)     		ty = 18469
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14252 / 18469 ti = "17/14252/18469"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14252/18469.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14252 ÷ 217
    14252 ÷ 131072     		x = 0.108734130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18469 ÷ 217
    18469 ÷ 131072     		y = 0.140907287597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108734130859375 × 2 - 1) × π
    -0.78253173828125 × 3.1415926535     		Λ = -2.45839596
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140907287597656 × 2 - 1) × π
    0.718185424804688 × 3.1415926535     		Φ = 2.25624605441718
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45839596} λ = -2.45839596}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25624605441718))-π/2
    2×atan(9.54718221006486)-π/2
    2×1.46643392586314-π/2
    2.93286785172629-1.57079632675     		φ = 1.36207152
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45839596} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.855713°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36207152 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.040949°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14252 KachelY 18469 -2.45839596 1.36207152 -140.855713 78.040949
    Oben rechts KachelX + 1 14253 KachelY 18469 -2.45834802 1.36207152 -140.852966 78.040949
    Unten links KachelX 14252 KachelY + 1 18470 -2.45839596 1.36206159 -140.855713 78.040381
    Unten rechts KachelX + 1 14253 KachelY + 1 18470 -2.45834802 1.36206159 -140.852966 78.040381
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36207152-1.36206159) × R
    9.93000000004685e-06 × 6371000     		dl = 63.2640300002985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36207152-1.36206159) × R
    9.93000000004685e-06 × 6371000     		dr = 63.2640300002985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45839596--2.45834802) × cos(1.36207152) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.207212552317128 × 6371000     		do = 63.2880471287059m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45839596--2.45834802) × cos(1.36206159) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.207222266785656 × 6371000     		du = 63.2910141774449m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36207152)-sin(1.36206159))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207212552317128-0.207222266785656)×R²
    abs(-2.45834802--2.45839596)×9.71446852859881e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.71446852859881e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.71446852859881e-06×40589641000000     		ar = 4003.9507659167m²